A carga q_{1}=+3,0 \mu \mathrm{C} está sobre o eixo x, na posição x=0,30 \mathrm{~m}. A carga q_{2} está sobre o eixo x, na posição x=-0,20 m. A carga q_{3}=-5,0 \mu C está na origem.
Determine o valor de q_{2} (módulo e sinal), caso a força resultante sobre q_{3} seja 6,0 \mathrm{~N} na direção positiva do eixo $x.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de q_{2} (módulo e sinal) de modo que a força resultante sobre q_{3} seja 6,0\\ \mathrm{N} na direção positiva do eixo x. Dados fornecidos:
q_{1}=+3,0\\ \mu\mathrm{C}\quad\text{em}\quad x=+0,30\\ \mathrm{m}
q_{2}=\text{valor desconhecido (posição)}\quad\text{em}\quad x=-0,20\\ \mathrm{m}çã
q_{3}=-5,0\\ \mu\mathrm{C}\quad\text{em}\quad x=0,00\\ \mathrm{m}
A força resultante sobre q_{3} deve ser
\vec{F}_{\text{res}}=+6,0\\ \mathrm{N}\\ \text{(no sentido }+x\text{)}.
Observação: as posições estão sobre o eixo x e todos os valores de carga fornecidos em \mu\mathrm{C} deverão ser convertidos para coulombs ( \mathrm{C}) para usar a Lei de Coulomb.

Passo 2

Apresentação e explicação da Lei de Coulomb (fórmula e variáveis).
A força elétrica entre duas cargas puntuais q e q' separadas por uma distância r é dada por
\vec{F} = k\,q\,q'\,\frac{\vec{r}-\vec{r}\,'}{\lVert \vec{r}-\vec{r}\,'\rVert^{3}},
onde:
  • k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} é a constante eletrostática;
  • q é a carga que sofre a força (no nosso caso q_{3});
  • q' é a carga geradora do campo (p.ex. q_{1} ou q_{2});
  • \vec{r} é a posição da carga que sofre a força e \vec{r}\,' a posição da carga geradora;
  • a expressão dá um vetor: a direção é ao longo da linha que une as cargas; o sentido depende do sinal do produto q q' (se o produto for negativo ocorre atração, se for positivo ocorre repulsão).
No nosso problema, tudo está em 1D (eixo x), então a fórmula vetorial simplifica para uma expressão escalar com sinal (positivo = para +x, negativo = para -x):
F = k\,q\,q'\,\frac{x - x'}{|x-x'|^{3}}.
Também convertemos as cargas para coulombs:
q_{1}=3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad q_{3}=-5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad q_{2}=\text{(em C, desconhecida).}

Passo 3

Calcular as distâncias entre as cargas (valores absolutos):
r_{13}=|x_{1}-x_{3}|=|0{,}30-0|=0{,}30\\ \mathrm{m}
r_{23}=|x_{2}-x_{3}|=|-0{,}20-0|=0{,}20\\ \mathrm{m}

Passo 4

Força sobre q_{3} devida a q_{1} — magnitude e direção.
Usamos a forma escalar (já que x_{3}-x_{1}=0-0{,}30=-0{,}30):
F_{13}=k\,q_{3}\,q_{1}\,\frac{x_{3}-x_{1}}{|x_{3}-x_{1}|^{3}}.
Como x_{3}-x_{1}=-0{,}30 e |x_{3}-x_{1}|^{3}=0{,}30^{3}=0{,}027, substituímos:
F_{13}=8{,}99\times10^{9}\cdot(-5{,}0\times10^{-6})\cdot(3{,}0\times10^{-6})\cdot\frac{-0{,}30}{0{,}027}.
Calculemos passo a passo:
q_{3}q_{1}=(-5{,}0\times10^{-6})\cdot(3{,}0\times10^{-6})=-1{,}5\times10^{-11}\\ \mathrm{C^{2}}
\frac{-0{,}30}{0{,}027}=-11{,}111\ldots
F_{13}=8{,}99\times10^{9}\cdot(-1{,}5\times10^{-11})\cdot(-11{,}111\ldots)=+1{,}4983\\ \mathrm{N}.
Interpretação física: q_{1} é positiva e q_{3} negativa, há atração; q_{1} está à direita de q_{3}, portanto essa força sobre q_{3} aponta para +x. O sinal positivo deu exatamente isso. Podemos arredondar intermediariamente para
F_{13}\approx+1{,}50\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Força sobre q_{3} devida a q_{2} (expressão em função de q_{2}).
Usamos a mesma fórmula:
F_{23}=k\,q_{3}\,q_{2}\,\frac{x_{3}-x_{2}}{|x_{3}-x_{2}|^{3}}.
Aqui x_{3}-x_{2}=0-(-0{,}20)=+0{,}20 e |x_{3}-x_{2}|^{3}=0{,}20^{3}=0{,}008. Então
F_{23}=8{,}99\times10^{9}\cdot q_{3}\,q_{2}\cdot\frac{0{,}20}{0{,}008}.
Observe que \dfrac{0{,}20}{0{,}008}=25. Assim
F_{23}=8{,}99\times10^{9}\cdot q_{3}\,q_{2}\cdot25.
Simplificando o coeficiente usando q_{3}=-5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}:
F_{23}= \bigl(8{,}99\times10^{9}\cdot(-5{,}0\times10^{-6})/0{,}04\bigr)\,q_{2}
(esta forma mostra que F_{23} é proporcional a q_{2}). Calculando o coeficiente numérico:
\frac{8{,}99\times10^{9}\cdot(-5{,}0\times10^{-6})}{0{,}04}=-1{,}123750\times10^{6}.
Portanto, com q_{2} em coulombs,
F_{23}=-1{,}123750\times10^{6}\;q_{2}\quad(\mathrm{N}).
Interpretação do sinal: esse fator negativo significa que o sinal de F_{23} será oposto ao sinal de q_{2}. Em termos físicos: se q_{2} for positivo, q_{3} (negativa) é atraída para a esquerda (força negativa); se q_{2} for negativo, q_{3} será repelida para a direita (força positiva).

Passo 6

Equacionar a força resultante e resolver para q_{2}.
A força resultante sobre q_{3} é a soma das contribuições:
F_{\text{res}}=F_{13}+F_{23}.
Substituímos os valores (usando F_{13}=+1{,}498333\\ \mathrm{N} e a expressão para F_{23}):
6{,}0 = 1{,}498333\;+\;(-1{,}123750\times10^{6})\,q_{2}.
Isolando q_{2}:
-1{,}123750\times10^{6}\;q_{2}=6{,}0-1{,}498333=4{,}501667
q_{2}=\frac{4{,}501667}{-1{,}123750\times10^{6}}=-4{,}005\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Convertendo para \mu\mathrm{C}:
q_{2}\approx -4{,}005\\ \mu\mathrm{C}\approx -4{,}0\\ \mu\mathrm{C}
(adotando duas casas significativas compatíveis com os dados iniciais).

Passo 7

Interpretação final: q_{2} é negativa (carga de sinal negativo) e seu módulo é cerca de 4{,}0\\ \mu\mathrm{C}. Isso faz sentido fisicamente: como q_{3} é negativa, para que a força total fique para +x com valor relativamente grande, a contribuição de q_{2} deve também empurrar q_{3} para a direita, o que ocorre se q_{2} for negativa (repulsão).

Resposta

q_{2}=-4{,}0\\ \mu\mathrm{C}
|q_{2}|=4{,}0\\ \mu\mathrm{C}

Exercícios relacionados