Uma carga puntiforme q_{1}=4,00 \mathrm{nC} está localizada sobre o eixo x, no ponto x=2,00 \mathrm{~m}, e uma segunda carga puntiforme q_{2}=-6,00 \mathrm{nC} está localizada sobre o eixo y, no ponto
y=1,00 \mathrm{~m}. Qual é o fluxo elétrico total produzido por essas cargas através de uma superfície esférica centralizada na origem e com um raio de
0,500 m? Explique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Uma carga pontual \,q_{1}=4,00\\ \mathrm{nC}\, está em (x,y,z)=(2{,}00\\ \mathrm{m},0,0).
  • Outra carga pontual \,q_{2}=-6{,}00\\ \mathrm{nC}\, está em (x,y,z)=(0,1{,}00\\ \mathrm{m},0).
  • Há uma superfície esférica centrada na origem com raio \,R=0{,}500\\ \mathrm{m}.
    A pergunta é: qual é o fluxo elétrico total produzido por essas duas cargas através da superfície esférica?

Passo 2

Definições e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo).
  • O fluxo elétrico através de uma superfície fechada S é dado por
\Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície e d\mathbf{A} é o vetor área de um elemento infinitesimal da superfície (módulo igual à área do elemento e direção normal para fora da superfície).
  • A Lei de Gauss (forma integral) relaciona esse fluxo com a carga total encerrada pela superfície:
\Phi=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Aqui \,Q_{\text{enc}}\, é a soma algébrica das cargas que estão estritamente dentro da superfície fechada, e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante física). A ideia central: o fluxo total através de uma superfície fechada depende apenas da carga total que está dentro dela, não da posição das cargas fora dela.

Passo 3

Determinar quais cargas estão dentro da esfera.
  • Distância da origem até \,q_{1}: \,r_1=2{,}00\\ \mathrm{m}. Como \,r_1=2{,}00\\ \mathrm{m}>R=0{,}500\\ \mathrm{m}, a carga \,q_{1} está fora da esfera.
  • Distância da origem até \,q_{2}: \,r_2=1{,}00\\ \mathrm{m}. Como \,r_2=1{,}00\\ \mathrm{m}>R=0{,}500\\ \mathrm{m}, a carga \,q_{2} também está fora da esfera.
    Portanto a carga total encerrada pela superfície é
Q_{\text{enc}}=0.

Passo 4

Aplicar a Lei de Gauss para obter o fluxo total.
Usando \Phi=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} e substituindo Q_{\text{enc}}=0, obtemos
\Phi=\frac{0}{\varepsilon_0}=0.
Explicação física curta e intuitiva: linhas de campo geradas por cargas externas que atravessam a superfície entram e saem em número igual, de modo que o fluxo líquido através da superfície fechada é nulo. Somente cargas dentro da superfície geram fluxo líquido diferente de zero.

Resposta

\Phi=0\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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