Q22.15
Em certa região do espaço, a densidade de carga \rho é positiva. O campo elétrico \overrightarrow{\boldsymbol{E}} pode ser uniforme nessa região? Explique.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e faz esta pergunta:
  • Informação: Em certa região do espaço a densidade de carga é positiva, ou seja, \rho(\mathbf r)>0 em toda essa região.
  • Pergunta: O campo elétrico \mathbf{E} pode ser uniforme nessa região? (Queremos uma resposta com justificativa.)

Passo 2

Lembrete das leis que vamos usar — explicadas de forma bem simples:
  • Lei de Gauss (forma diferencial): ela relaciona a densidade de carga local com a divergência do campo elétrico. Em linguagem matemática:
\nabla\!\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.
Aqui \nabla\!\cdot\mathbf{E} é a divergência do campo (uma medida de quanto o campo “explode” a partir de um ponto), \rho é a densidade de carga local e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante).
  • Interpretação física rápida: se \rho>0 num ponto, isso significa que há carga positiva ali atuando como “fonte” de linhas de campo, então a divergência do campo naquele ponto deve ser positiva.

Passo 3

O que significa um campo elétrico uniforme? Vou definir e calcular sua divergência.
  • Um campo uniforme é um vetor constante em toda a região: \mathbf{E}(\mathbf r)=\mathbf{E}_0, com \mathbf{E}_0 independente de \mathbf r.
  • A divergência de um campo constante é zero porque as componentes do campo são constantes e as derivadas espaciais delas são nulas. Em notação:
\nabla\!\cdot\mathbf{E}_0=0.
Isso é um fato simples de cálculo vetorial: derivada de constante = 0.

Passo 4

Compare os dois resultados e veja a contradição.
  • Pela Lei de Gauss (Passo 2), em pontos onde \rho>0 vale
\nabla\!\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}>0.
  • Mas se \mathbf{E} fosse uniforme teríamos \nabla\!\cdot\mathbf{E}=0 (Passo 3).
  • Essas duas afirmações não podem ser verdadeiras simultaneamente. Logo, não é possível ter um campo uniforme numa região onde \rho>0 em toda a região.

Passo 5

Uma outra maneira (equivalente) de ver a impossibilidade usando a forma integral da lei de Gauss — mais intuitiva:
  • Forma integral da lei de Gauss:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}}=\int_V \rho\,dV é a carga total dentro do volume V limitado pela superfície fechada S.
  • Se o campo fosse uniforme \mathbf{E}=\mathbf{E}_0, o fluxo através de qualquer superfície fechada seria
\oint_{S}\mathbf{E}_0\cdot d\mathbf{A}=\mathbf{E}_0\cdot\oint_{S} d\mathbf{A}.
Mas \oint_{S} d\mathbf{A}=\mathbf{0} para qualquer superfície fechada (vetor soma dos elementos de área saem zero), então o fluxo seria zero e daí Q_{\text{int}}=0.
  • Isso contradiz o fato de que \rho>0 na região, que implica Q_{\text{int}}>0. Portanto, não pode existir campo uniforme.

Passo 6

Intuição física e comentário prático (para a prova):
  • Cargas positivas são “fontes” de linhas de campo; se há carga espalhada positivamente numa região, as linhas de campo saem desses pontos e o campo tem que variar de posição para refletir essa saída — por isso o campo não pode ser constante.
  • Observação prática: se a densidade de carga fosse zero numa sub-região, aí sim dentro dessa sub-região poderia existir um campo uniforme (por exemplo, entre placas com carga nas superfícies externas), mas isso não se aplica aqui porque o enunciado afirma \rho>0 na região considerada.

Resposta

Não. Se \rho(\mathbf r)>0 em uma região então \nabla\!\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0>0 nessa região, enquanto um campo uniforme tem \nabla\!\cdot\mathbf{E}=0; portanto não é possível ter \mathbf{E} uniforme onde \rho>0.

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