Q22.15
Em certa região do espaço, a densidade de carga
é positiva. O campo elétrico
pode ser uniforme nessa região? Explique.
Em certa região do espaço, a densidade de carga
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e faz esta pergunta:
- Informação: Em certa região do espaço a densidade de carga é positiva, ou seja,
em toda essa região. - Pergunta: O campo elétrico
pode ser uniforme nessa região? (Queremos uma resposta com justificativa.)
Passo 2
Lembrete das leis que vamos usar — explicadas de forma bem simples:
- Lei de Gauss (forma diferencial): ela relaciona a densidade de carga local com a divergência do campo elétrico. Em linguagem matemática:
Aqui
é a divergência do campo (uma medida de quanto o campo “explode” a partir de um ponto),
é a densidade de carga local e
é a permissividade do vácuo (constante).
- Interpretação física rápida: se
num ponto, isso significa que há carga positiva ali atuando como “fonte” de linhas de campo, então a divergência do campo naquele ponto deve ser positiva.
Passo 3
O que significa um campo elétrico uniforme? Vou definir e calcular sua divergência.
- Um campo uniforme é um vetor constante em toda a região:
, com independente de . - A divergência de um campo constante é zero porque as componentes do campo são constantes e as derivadas espaciais delas são nulas. Em notação:
Isso é um fato simples de cálculo vetorial: derivada de constante = 0.
Passo 4
Compare os dois resultados e veja a contradição.
- Pela Lei de Gauss (Passo 2), em pontos onde
vale
- Mas se
fosse uniforme teríamos (Passo 3). - Essas duas afirmações não podem ser verdadeiras simultaneamente. Logo, não é possível ter um campo uniforme numa região onde
em toda a região.
Passo 5
Uma outra maneira (equivalente) de ver a impossibilidade usando a forma integral da lei de Gauss — mais intuitiva:
- Forma integral da lei de Gauss:
onde
é a carga total dentro do volume
limitado pela superfície fechada
.
- Se o campo fosse uniforme
, o fluxo através de qualquer superfície fechada seria
Mas
para qualquer superfície fechada (vetor soma dos elementos de área saem zero), então o fluxo seria zero e daí
.
- Isso contradiz o fato de que
na região, que implica . Portanto, não pode existir campo uniforme.
Passo 6
Intuição física e comentário prático (para a prova):
- Cargas positivas são “fontes” de linhas de campo; se há carga espalhada positivamente numa região, as linhas de campo saem desses pontos e o campo tem que variar de posição para refletir essa saída — por isso o campo não pode ser constante.
- Observação prática: se a densidade de carga fosse zero numa sub-região, aí sim dentro dessa sub-região poderia existir um campo uniforme (por exemplo, entre placas com carga nas superfícies externas), mas isso não se aplica aqui porque o enunciado afirma
na região considerada.
Resposta
Não. Se
em uma região então
nessa região, enquanto um campo uniforme tem
; portanto não é possível ter
uniforme onde
.