Uma carga puntiforme de 5 \mu C está no eixo y em y=3 \mathrm{~cm}, e uma segunda carga puntiforme de 2 \mu C está no eixo y em y=-3 \mathrm{~cm}. Determine o campo elétrico no ponto P, que está no eixo x em x= 8 cm .

Passo 1

O enunciado dá duas cargas puntiformes ao longo do eixo y:
\,q_1 = 5\,\mu\mathrm{C} em (0,3\text{ cm}) e
\,q_2 = 2\,\mu\mathrm{C} em (0,-3\text{ cm}).
Pede-se o campo elétrico resultante em P=(8\text{ cm},0).
O conteúdo principal é a superposição vetorial do campo de cada carga, usando a fórmula do campo de uma carga pontual
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}.

Passo 2

Marcamos as posições em metros:
\,q_1 em (0,\,0{,}03)\,\mathrm{m}, \,q_2 em (0,\,-0{,}03)\,\mathrm{m}, e
P em (0{,}08,\,0)\,\mathrm{m}.
O vetor posição de q_1\to P é
\mathbf{r}_1 = (0{,}08\,\mathbf{i} - 0{,}03\,\mathbf{j})\;\mathrm{m},
e de q_2\to P é
\mathbf{r}_2 = (0{,}08\,\mathbf{i} + 0{,}03\,\mathbf{j})\;\mathrm{m}.

Passo 3

Calculamos a distância comum
r = \|\mathbf{r}_1\| = \|\mathbf{r}_2\| = \sqrt{(0{,}08)^2 + (0{,}03)^2} = \sqrt{0{,}0064 + 0{,}0009} = \sqrt{0{,}0073} \approx 0{,}08544\;\mathrm{m}.

Passo 4

O módulo do campo de cada carga é
E_1 = k\,\frac{q_1}{r^2} = 8{,}99\times10^9\,\frac{5\times10^{-6}}{(0{,}08544)^2} \approx 6{,}15\times10^6\;\mathrm{N/C},
E_2 = k\,\frac{q_2}{r^2} = 8{,}99\times10^9\,\frac{2\times10^{-6}}{(0{,}08544)^2} \approx 2{,}46\times10^6\;\mathrm{N/C}.

Passo 5

Os versores são
\hat{\mathbf{r}}_1 = \frac{1}{r}(0{,}08\,\mathbf{i} - 0{,}03\,\mathbf{j}),\quad \hat{\mathbf{r}}_2 = \frac{1}{r}(0{,}08\,\mathbf{i} + 0{,}03\,\mathbf{j}).
Logo as componentes:
\mathbf{E}_1 = E_1\,\hat{\mathbf{r}}_1 = 6{,}15\times10^6\frac{(0{,}08\,\mathbf{i}-0{,}03\,\mathbf{j})}{0{,}08544},
\mathbf{E}_2 = E_2\,\hat{\mathbf{r}}_2 = 2{,}46\times10^6\frac{(0{,}08\,\mathbf{i}+0{,}03\,\mathbf{j})}{0{,}08544}.

Passo 6

Somamos as componentes em x e em y:
E_x = (E_1+E_2)\frac{0{,}08}{0{,}08544} = (6{,}15+2{,}46)\times10^6\cdot0{,}936 \approx 8{,}06\times10^6\;\mathrm{N/C},
E_y = -E_1\frac{0{,}03}{0{,}08544} + E_2\frac{0{,}03}{0{,}08544} = [-6{,}15 + 2{,}46]\times10^6\cdot0{,}351 \approx -1{,}30\times10^6\;\mathrm{N/C}.

Passo 7

Calculamos módulo e direção do vetor resultante:
|\mathbf{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{(8{,}06\times10^6)^2 + (-1{,}30\times10^6)^2} \approx 8{,}16\times10^6\;\mathrm{N/C},
\theta = \arctan\bigl(\tfrac{E_y}{E_x}\bigr) = \arctan\bigl(\tfrac{-1{,}30}{8{,}06}\bigr) \approx -9{,}2^\circ \quad(\text{abaixo do eixo }+x).

Resposta

\mathbf{E}(P) \approx (8{,}06\times10^6)\,\mathbf{i}\;-\;(1{,}30\times10^6)\,\mathbf{j} \quad\mathrm{N/C},
com módulo 8{,}16\times10^6\;\mathrm{N/C} e direção \,9{,}2^\circ abaixo do eixo +x.

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