Um gás ideal, cuja razão entre os calores específicos à pressão e volume constante é igual a \boldsymbol{\gamma} \equiv \boldsymbol{c}_{\boldsymbol{p}} / \boldsymbol{c}_{\boldsymbol{v}}, passa por uma expansão adiabática com razão de expansão (i.e. a razão entre volume final e inicial) r \equiv V_{f} / V_{i}. Podemos subdividir esse processo em duas partes, sendo que, em cada uma, a variação do volume é metade da variação total. A razão do trabalho realizado na primeira metade da expansão pelo trabalho realizado na segunda metade é:
a. \frac{2^{\gamma-1}-1}{\left(\frac{1+r}{2 r}\right)^{\gamma-1}-1}
b. \frac{\ln \left(\frac{1+r}{2}\right)}{\ln r}
c. r
d. \frac{(1+r)^{\gamma-1}-2^{\gamma-1}}{2^{\gamma-1}-\left(\frac{1+r}{r}\right)^{\gamma-1}}
e. 1

Passo 1

O enunciado pede a razão entre os trabalhos feitos em cada metade de uma expansão adiabática de um gás ideal, com razão de volumes
r=\frac{V_f}{V_i}
e coeficiente adiabático \gamma=c_p/c_v. Para resolver, vamos precisar de (1) expressão geral do trabalho em processo adiabático, (2) identificar o volume intermediário que divide a variação total de volume em duas metades, e (3) calcular o trabalho na primeira e segunda metades e formar a razão.

Passo 2

Como queremos dividir a variação total de volume \Delta V=V_f-V_i em duas metades, o volume médio é
V_{\rm mid}=V_i+\frac{V_f-V_i}{2}=\frac{V_i+V_f}{2}.
Logo
\frac{V_{\rm mid}}{V_i}=\frac{1+r}{2}, \qquad \frac{V_i}{V_{\rm mid}}=\frac{2}{1+r}.

Passo 3

Num processo adiabático reversível valem
p\,V^\gamma=\text{const}
e o trabalho de V_1\to V_2 é
W=\int_{V_1}^{V_2}p\,dV =\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}.

Passo 4

Na primeira metade V_1=V_i e V_2=V_{\rm mid}. Como
\displaystyle p_{\rm mid}=p_i\Bigl(\tfrac{V_i}{V_{\rm mid}}\Bigr)^{\!\gamma},
temos
W_1 =\frac{p_iV_i - p_{\rm mid}V_{\rm mid}}{\gamma-1} =\frac{p_iV_i\bigl[1-(V_i/V_{\rm mid})^{\!\gamma-1}\bigr]}{\gamma-1} =\frac{p_iV_i\bigl[1-(2/(1+r))^{\gamma-1}\bigr]}{\gamma-1}.

Passo 5

Na segunda metade V_1'=V_{\rm mid}, V_2'=V_f. Como
\displaystyle p_f=p_i\bigl(V_i/V_f\bigr)^{\!\gamma},
o trabalho é
W_2 =\frac{p_{\rm mid}V_{\rm mid}-p_fV_f}{\gamma-1} =\frac{p_iV_i\bigl[(V_i/V_{\rm mid})^{\!\gamma-1}-(V_i/V_f)^{\!\gamma-1}\bigr]}{\gamma-1} =\frac{p_iV_i\bigl[(2/(1+r))^{\gamma-1}-(1/r)^{\gamma-1}\bigr]}{\gamma-1}.

Passo 6

Formando a razão W_1/W_2 cancela p_iV_i/(\gamma-1):
\frac{W_1}{W_2} =\frac{1-(2/(1+r))^{\gamma-1}}{(2/(1+r))^{\gamma-1}-(1/r)^{\gamma-1}} =\frac{(1+r)^{\gamma-1}-2^{\gamma-1}}{2^{\gamma-1}-\bigl(\tfrac{1+r}{r}\bigr)^{\!\gamma-1}}.

Resposta

(d) \displaystyle \frac{(1+r)^{\gamma-1}-2^{\gamma-1}}{2^{\gamma-1}-\bigl(\tfrac{1+r}{r}\bigr)^{\gamma-1}}

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