Uma carga resistiva de 200 \Omega é suprida por um circuito retificador de meia onda. A tensão alternada de entrada tem valor eficaz de 6 V . Considere a segunda aproximação para o diodo de silício. Pede-se:
a) A tensão média na carga; (2,47 \mathrm{~V})
b) A corrente média na carga; (12,39 \mathrm{~mA})
c) A potência consumida pela carga; (30,7 \mathrm{~mW})
d) As especificações do diodo.

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (sem resolver nada ainda):
  • Uma carga resistiva R = 200\\ \Omega.
  • A tensão alternada de entrada tem valor eficaz \,V_{\text{rms}} = 6\\ \text{V}.
  • O circuito é um retificador de meia onda (um único diodo em série com a carga).
  • Usar a segunda aproximação para o diodo de silício (modelo de queda de tensão constante na condução).
    O que se pede:
    a) A tensão média na carga (valor médio sobre um período).
    b) A corrente média na carga.
    c) A potência consumida pela carga.
    d) As especificações do diodo (valores importantes como tensão reversa máxima a suportar, correntes de pico e médias, potência dissipada no diodo, etc.).

Passo 2

Entendendo a “segunda aproximação” do diodo e as ideias físicas
  • Na segunda aproximação o diodo é modelado como uma fonte de tensão constante V_F (queda direta) quando conduz, e como circuito aberto quando bloqueado. Para diodo de silício usaremos a queda direta típica V_F = 0,7\\ \text{V}.
  • A entrada é uma senóide: a tensão instantânea na fonte é v_s(t)=V_m\sin(\omega t), com V_m pico (amplitude). A relação entre valor eficaz e pico é
V_m = \sqrt{2}\,V_{\text{rms}}.
  • No retificador de meia onda, o diodo conduz quando v_s(t) > V_F. Enquanto conduz, a tensão na carga é v_o(t)=v_s(t)-V_F = V_m\sin\theta - V_F (com \theta=\omega t). Fora desse intervalo v_o(t)=0.
  • A média (valor médio) sobre um período T é
V_{\text{DC}}=\frac{1}{T}\int_0^{T} v_o(t)\,dt
que ficará como uma integral sobre o intervalo de condução apenas.

Passo 3

Cálculo das quantidades iniciais e do ângulo de condução
  • Primeiro calcule V_m:
V_m = \sqrt{2}\,V_{\text{rms}} = \sqrt{2}\cdot 6\\ \text{V} = 6\sqrt{2}\\ \text{V}.
Numericamente:
V_m = 6\sqrt{2} \approx 8,485281\\ \text{V}.
  • O diodo passa a conduzir quando \;V_m\sin\theta > V_F\;. Definindo \theta_c como o ângulo em que \sin\theta_c = V_F/V_m, tem-se condução para \theta entre \theta_c e \pi-\theta_c (a parte positiva em que a senóide fica acima de V_F).
\theta_c = \arcsin\!\left(\frac{V_F}{V_m}\right).
Com V_F=0,7\\ \text{V} e V_m\approx 8,485281\\ \text{V},
\theta_c = \arcsin\!\left(\frac{0,7}{8,485281}\right) \approx 0,082606\\ \text{rad}.

Passo 4

Fórmula do valor médio V_{\text{DC}} (integração)
  • A média sobre o período T (que corresponde a 2\pi em \theta) é
V_{\text{DC}}=\frac{1}{2\pi}\int_{\theta_c}^{\pi-\theta_c} \bigl(V_m\sin\theta - V_F\bigr)\,d\theta.
  • Calcule a integral explicitamente. Usando integrais básicas:
\int \sin\theta\,d\theta = -\cos\theta,\qquad \int d\theta = \theta.
  • Assim
\begin{aligned} V_{\text{DC}} &= \frac{1}{2\pi}\Bigl[ -V_m\cos\theta - V_F\theta \Bigr]_{\theta_c}^{\pi-\theta_c} \\[4pt] &= \frac{1}{2\pi}\Bigl( -V_m\cos(\pi-\theta_c) + V_m\cos\theta_c - V_F(\pi-2\theta_c)\Bigr). \end{aligned}
  • Usando \cos(\pi-\theta_c) = -\cos\theta_c, a expressão simplifica para
V_{\text{DC}} = \frac{1}{2\pi}\Bigl(2V_m\cos\theta_c - V_F(\pi-2\theta_c)\Bigr).
  • Outra forma útil, equivalente:
V_{\text{DC}} = \frac{V_m}{\pi}\cos\theta_c - \frac{V_F}{2\pi}(\pi-2\theta_c).]

Passo 5

Avaliação numérica de V_{\text{DC}}
  • Já temos V_m \approx 8,485281\\ \text{V}, \theta_c \approx 0,082606\\ \text{rad} e V_F=0,7\\ \text{V}.
  • Calcule \cos\theta_c:
\cos\theta_c = \sqrt{1-\sin^2\theta_c} = \sqrt{1-\left(\frac{V_F}{V_m}\right)^2} \approx 0,996595.
  • Agora calcule V_{\text{DC}} pela fórmula:
V_{\text{DC}} = \frac{V_m}{\pi}\cos\theta_c - \frac{V_F}{2\pi}(\pi-2\theta_c).
Substituindo numericamente:
\begin{aligned} \frac{V_m}{\pi}\cos\theta_c &\approx \frac{8,485281}{\pi}\cdot 0,996595 \approx 2,691187\\ \text{V},\\[4pt] \frac{V_F}{2\pi}(\pi-2\theta_c) &\approx \frac{0,7}{2\pi}\cdot (3,141593-2\cdot0,082606) \approx 0,331739\\ \text{V}. \end{aligned}
Portanto
V_{\text{DC}} \approx 2,691187 - 0,331739 = 2,35945\\ \text{V}.
Arredondando de forma prática: V_{\text{DC}}\approx 2,36\\ \text{V}.]

Passo 6

Corrente média na carga e potência consumida pela carga
  • A corrente instantânea, quando conduz, é i(t)=\dfrac{v_o(t)}{R}=\dfrac{V_m\sin\theta - V_F}{R}. A corrente média sobre o período (que é igual à média da corrente no diodo também) é simplesmente
I_{\text{DC}} = \frac{V_{\text{DC}}}{R}.
  • Com V_{\text{DC}}\approx 2,35945\\ \text{V} e R=200\\ \Omega,
I_{\text{DC}} \approx \frac{2,35945}{200} = 0,0117972\\ \text{A}\approx 11,80\\ \text{mA}.
  • A potência consumida pela carga (potência média) é
P_R = \frac{V_{\text{DC}}^{2}}{R}.
  • Numericamente,
P_R \approx \frac{(2,35945)^2}{200} \approx \frac{5,5673}{200} = 0,0278365\\ \text{W}\approx 27,84\\ \text{mW}.

Passo 7

Especificações importantes do diodo (cálculos e interpretações)
Para especificar um diodo numa aplicação de retificador de meia onda são relevantes pelo menos:
  • Tensão reversa máxima a suportar (PIV, peak inverse voltage):
    • No semiciclo negativo o diodo vê praticamente a tensão pico da fonte em inverso, portanto
    \text{PIV} \approx V_m \approx 8,485281\\ \text{V}\\ (\text{ou }8,49\\ \text{V} \text{ arredondado}).
  • Corrente de pico direta ( I_{F,\text{pk}}):
    • No instante de pico da senóide a corrente (assumindo queda constante V_F) é
    I_{F,\text{pk}}=\frac{V_m - V_F}{R}=\frac{8,485281-0,7}{200}\approx 0,0389264\\ \text{A}\approx 38,93\\ \text{mA}.
  • Corrente média direta através do diodo (média sobre o período): é a mesma corrente média da carga I_{F,\text{avg}} = I_{\text{DC}}\approx 11,80\\ \text{mA}.
  • Corrente RMS do diodo ( I_{F,\text{rms}}) — útil para perdas térmicas:
    • Calcula-se pela integral do quadrado da corrente durante o intervalo de condução:
    I_{F,\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{\theta_c}^{\pi-\theta_c}\left(\frac{V_m\sin\theta - V_F}{R}\right)^2 d\theta }.
    • Avaliando essa integral (procedimento mostrado na resolução) obtém-se numericamente
    I_{F,\text{rms}} \approx 19,02\\ \text{mA}.
  • Potência média dissipada no diodo (assumindo queda constante V_F): P_D = V_F\cdot I_{F,\text{avg}} \approx 0,7\cdot 0,0117972 \approx 0,008257\\ \text{W}\approx 8,26\\ \text{mW}.

Passo 8

Breve interpretação prática e checagem numérica final (ânimo!)
  • Em linguagem de prova: usar a segunda aproximação significa V_F constante (aqui 0,7\\ \text{V}), determinar o ângulo de condução \theta_c e integrar a forma V_m\sin\theta - V_F na janela de condução. Fazer as contas com atenção às conversões V_{\text{rms}}\to V_m e às funções trigonométricas.
  • Os valores calculados são consistentes entre si: V_{\text{DC}}=R\cdot I_{\text{DC}} e P_R=V_{\text{DC}}^2/R. Dá para conferir rápido na prova usando essas identidades para validar a resposta.

Resposta

a) V_{\text{DC}} \approx 2,36\\ \text{V}
b) I_{\text{DC}} \approx 11,80\\ \text{mA}
c) P_R \approx 27,84\\ \text{mW}
d) Especificações do diodo (valores calculados para esta aplicação):
\text{PIV} \approx 8,49\\ \text{V}, \;I_{F,\text{pk}}\approx 38,93\\ \text{mA}, \;I_{F,\text{avg}}\approx 11,80\\ \text{mA}, \;I_{F,\text{rms}}\approx 19,02\\ \text{mA}, \;P_D\approx 8,26\\ \text{mW}.

Exercícios relacionados