Um astronauta parte em uma viagem de um ano para o espaço. No entanto, quando ele retorna, percebe que se passaram 15 anos na Terra. Qual foi a velocidade, supostamente constante, da espaçonave durante a viagem?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (resumido e claro):
- Tempo próprio (tempo medido pelo astronauta durante a viagem):
ano. - Tempo medido na Terra entre partida e chegada:
anos. - Pergunta: qual foi a velocidade constante
da espaçonave que explica essa diferença de tempos?
Passo 2
Conceito básico necessário (explicado devagar): quando um objeto se move a velocidade constante próxima da velocidade da luz, os observadores em referenciais diferentes medem tempos diferentes. O tempo medido pelo viajante é chamado de tempo próprio
. O tempo medido no referencial da Terra é
. Esses tempos estão relacionados pela dilatação temporal relativística através do fator de Lorentz
, definido por:
onde
é a velocidade da luz no vácuo (constante universal). A relação entre os tempos é
Explicando em palavras:
é sempre maior ou igual a
; quanto mais rápido (
mais perto de
), maior
, e mais o tempo na Terra
fica “esticado” em relação ao tempo do astronauta
.
Passo 3
Aplicando os números do enunciado na relação
. Isolando
obtemos:
Substituindo
anos e
ano:
Isso significa que o fator de dilatação temporal que faz
ano para o astronauta corresponder a
anos na Terra é
.
Passo 4
Agora vamos relacionar
com a velocidade
e isolar
. Partindo de
fazemos as manipulações passo a passo:
Essa última fórmula dá a velocidade em unidades de
(fração da velocidade da luz) a partir de
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula obtida:
Podemos simplificar um pouco
, então
Arredondando de forma conveniente:
Passo 6
Se quiser ver isso como velocidade em km/s, use
. Então
Ou seja, a espaçonave viajou a cerca de
mil km/s — extremamente próxima da velocidade da luz.
Passo 7
Interpretação final (curta, para motivar): isso mostra que para o astronauta envelhecer apenas 1 ano enquanto 15 anos se passam na Terra, a velocidade precisa ser muito, muito próxima de
. Pequenas diferenças de
exigem velocidades surpreendentemente altas. Dá pra ficar animado — é exatamente esse tipo de cálculo que aparece em problemas clássicos de relatividade!