Um astronauta parte em uma viagem de um ano para o espaço. No entanto, quando ele retorna, percebe que se passaram 15 anos na Terra. Qual foi a velocidade, supostamente constante, da espaçonave durante a viagem?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumido e claro):
  • Tempo próprio (tempo medido pelo astronauta durante a viagem): \tau = 1 ano.
  • Tempo medido na Terra entre partida e chegada: t = 15 anos.
  • Pergunta: qual foi a velocidade constante v da espaçonave que explica essa diferença de tempos?

Passo 2

Conceito básico necessário (explicado devagar): quando um objeto se move a velocidade constante próxima da velocidade da luz, os observadores em referenciais diferentes medem tempos diferentes. O tempo medido pelo viajante é chamado de tempo próprio \tau. O tempo medido no referencial da Terra é t. Esses tempos estão relacionados pela dilatação temporal relativística através do fator de Lorentz \gamma, definido por:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}},
onde \;c\; é a velocidade da luz no vácuo (constante universal). A relação entre os tempos é
t=\gamma\,\tau.
Explicando em palavras: \gamma é sempre maior ou igual a 1; quanto mais rápido ( v mais perto de c), maior \gamma, e mais o tempo na Terra t fica “esticado” em relação ao tempo do astronauta \tau.

Passo 3

Aplicando os números do enunciado na relação t=\gamma\,\tau. Isolando \gamma obtemos:
\gamma=\frac{t}{\tau}.
Substituindo \;t=15 anos e \;\tau=1 ano:
\gamma=\frac{15}{1}=15.
Isso significa que o fator de dilatação temporal que faz 1 ano para o astronauta corresponder a 15 anos na Terra é \gamma=15.

Passo 4

Agora vamos relacionar \gamma com a velocidade v e isolar v. Partindo de
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}},
fazemos as manipulações passo a passo:
\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{1}{\gamma},
1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{\gamma^{2}},
\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{\gamma^{2}},
\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}.
Essa última fórmula dá a velocidade em unidades de c (fração da velocidade da luz) a partir de \gamma.

Passo 5

Substituindo \gamma=15 na fórmula obtida:
\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{15^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{225}}=\sqrt{\frac{224}{225}}.
Podemos simplificar um pouco \sqrt{224}=\sqrt{16\cdot14}=4\sqrt{14}, então
\frac{v}{c}=\frac{\sqrt{224}}{15}\approx\frac{14{,}9666295}{15}\approx0{,}9977753.
Arredondando de forma conveniente:
\frac{v}{c}\approx0{,}99778.

Passo 6

Se quiser ver isso como velocidade em km/s, use c\approx2{,}99792458\times10^{5}\\ \text{km/s}. Então
v\approx0{,}9977753\;c\approx0{,}9977753\times2{,}99792458\times10^{5}\\ \text{km/s}\approx2{,}99126\times10^{5}\\ \text{km/s}.
Ou seja, a espaçonave viajou a cerca de 299{,}1 mil km/s — extremamente próxima da velocidade da luz.

Passo 7

Interpretação final (curta, para motivar): isso mostra que para o astronauta envelhecer apenas 1 ano enquanto 15 anos se passam na Terra, a velocidade precisa ser muito, muito próxima de c. Pequenas diferenças de \gamma exigem velocidades surpreendentemente altas. Dá pra ficar animado — é exatamente esse tipo de cálculo que aparece em problemas clássicos de relatividade!

Resposta

\displaystyle v\approx0{,}99778\,c\approx2{,}99126\times10^{5}\\ \text{km/s}

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