Um carrinho elétrico pesa 1000 N e se move em um caminho horizontal. Ele atinge uma velocidade máxima de 25 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1} quando o motor desenvolve sua potência máxima de 42 kW . Calcule a velocidade máxima do carrinho quando ele sobe uma colina com inclinação de 5 \%. Ignore resistência do ar. (Nota: uma inclinação de 1 \% tem um angulo \alpha tal que \tan \alpha=0,01.)

Passo 1

O carrinho tem peso W=1000\\ \mathrm{N} e atinge velocidade máxima na horizontal v_1=25\\ \mathrm{m/s} quando o motor entrega potência máxima P=42\\ \mathrm{kW}=42000\\ \mathrm{W}. Vamos estudar o caso em que o carrinho sobe uma rampa de inclinação definida por \tan\alpha=0,05. Ignorando resistência do ar, assumimos que existe uma força resistente constante F_r (por exemplo, atrito de rolamento) que o motor vence em regime permanente.

Passo 2

Em movimento horizontal e constante, toda a potência do motor é gasta em vencer F_r. Portanto
P = F_r\,v_1
e
F_r = \frac{P}{v_1} = \frac{42000}{25} = 1680\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Ao subir a rampa, além de vencer F_r, o motor gasta potência para elevar o carrinho contra a gravidade. A componente do peso paralela ao plano é W\sin\alpha, onde \sin\alpha\approx\tan\alpha=0{,}05 (pequeno ângulo). Logo
W\sin\alpha = 1000 \times 0{,}05 = 50\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Na subida em velocidade constante v_2, a potência do motor satisfaz
P = \bigl(F_r + W\sin\alpha\bigr)\,v_2
Logo
v_2 = \frac{P}{F_r + W\sin\alpha} = \frac{42000}{1680 + 50} = \frac{42000}{1730}.

Passo 5

Calculando numericamente,
v_2 \approx 24{,}3\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade máxima na inclinação de 5\% é aproximadamente 24{,}3\\ \mathrm{m/s}.

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