Um carrinho elétrico pesa 1000 N e se move em um caminho horizontal. Ele atinge uma velocidade máxima de 25 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1} quando o motor desenvolve sua potência máxima de 42 kW . Calcule a velocidade máxima do carrinho quando ele sobe uma colina com inclinação de 5 \%. Ignore resistência do ar. (Nota: uma inclinação de 1 \% tem um angulo \alpha tal que \tan \alpha=0,01.)

Passo 1

O enunciado nos dá um carrinho de peso W=1000\\ \mathrm{N} que, em terreno horizontal, atinge velocidade máxima v_h=25\\ \mathrm{m/s} quando o motor entrega potência máxima P=42\\ \mathrm{kW}. Como desprezamos resistência do ar, em regime permanente toda a potência do motor é usada para vencer uma força resistiva constante F_r. Na subida, além de F_r, aparecerá o componente do peso paralelo ao plano inclinado.

Passo 2

Em plano horizontal não há ganho de energia potencial, portanto
P = F_r \, v_h
logo
F_r = \frac{P}{v_h} = \frac{42\times10^3}{25} = 1680\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Na subida com inclinação \alpha tal que \tan\alpha=0,05, o componente do peso paralelo ao plano é
F_g = W\sin\alpha.
Como
\sin\alpha = \frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} = \frac{0,05}{\sqrt{1+0,05^2}}\approx0,0499,
temos
F_g = 1000\cdot0,0499 \approx 49{,}9\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Em velocidade constante v_i na subida, a potência do motor satisfaz
P = (F_r + F_g)\,v_i
portanto
v_i = \frac{P}{F_r + F_g} = \frac{42\times10^3}{1680 + 49{,}9}\approx24{,}3\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade máxima do carrinho na colina é aproximadamente 24{,}3\\ \mathrm{m/s}.

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