Você foi designado para projetar uma ponte rolante com capacidade de içamento de 20 toneladas. Utilzie um motor de indução de 4 polos, \mathrm{f}=60 \mathrm{~Hz}, \mathrm{Nn}=1760 \mathrm{rpm} \mathrm{e} Tmax/Tn = 3. Deseja-se que a velocidade máxima de içamento seja de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a. Sabendo que o raio do cilindro é de 0,25 \mathrm{~m}, calcule a relação de engrenagens.
b. Determine o torque e a potência do motor para atender a carga em regime permanente
c. Considere que, com a utilização de inversor de frequência, o motor consiga desenvolver torque máximo em toda a partida, determine o tempo de aceleração considerando que a inércia do motor é de 0,1 \mathrm{~kg}, \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede (vou listar tudo, com calma, igual um checklist):
\begin{aligned} &\text{Capacidade de içamento: }20\\ \text{toneladas} \\\ &\quad\Rightarrow m=20{,}000\\ \text{kg} \\\ &\text{Raio do cilindro (tambor): }r=0{,}25\\ \text{m} \\\ &\text{Velocidade máxima de içamento linear: }v=1\\ \text{m/s} \\\ &\text{Motor: indução 4 polos, }f=60\\ \text{Hz},\\ N_n=1760\\ \text{rpm} \\\ &\text{Relação de torque máximo para torque nominal: }T_{\max}/T_n=3 \\\ &\text{Inércia do motor: }J_m=0{,}1\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 \end{aligned}çáççãçãáé
Perguntas:
a) Calcular a relação de engrenagens (razão entre velocidade do motor e velocidade do tambor).
b) Determinar o torque e a potência do motor para atender a carga em regime permanente (ou seja, içar a carga a 1\\ \text{m/s} com velocidade nominal do motor).
c) Considerando que o inversor permite que o motor desenvolva T_{\max} durante toda a partida, determinar o tempo de aceleração, usando J_m=0{,}1\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.

Passo 2

Converter a velocidade linear desejada para a velocidade de rotação do tambor. Fórmulas que usamos:
v=\omega_{\text{tambor}}\,r
\omega_{\text{tambor}}=2\pi\frac{n_{\text{tambor}}}{60}
Juntando e isolando n_{\text{tambor}}:
n_{\text{tambor}}=\frac{v\cdot 60}{2\pi r}
Agora substituo números:
n_{\text{tambor}}=\frac{1\cdot 60}{2\pi\cdot 0{,}25}=\frac{60}{0{,}5\pi}=\frac{120}{\pi}\approx 38{,}197\\ \text{rpm}
Arredondando com precisão útil: n_{\text{tambor}}\approx 38{,}20\\ \text{rpm}.

Passo 3

Calcular a relação de engrenagens (razão de velocidades) i. Definição:
i=\frac{n_{\text{motor}}}{n_{\text{tambor}}}
Substituindo:
i=\frac{1760}{38{,}197}\approx 46{,}06
Interpretação prática: a relação é cerca de 46{,}06:1 (motor gira \approx 46 vezes para cada volta do tambor). Isso responde a letra (a).

Passo 4

Calcular a força peso da carga e o torque requerido no tambor em regime permanente. A força peso:
F=m g=20{,}000\cdot 9{,}81=196{,}200\\ \text{N}
Torque no tambor:
T_{\text{tambor}}=F\cdot r=196{,}200\cdot 0{,}25=49{,}050\\ \text{N}\cdot\text{m}

Passo 5

Refletir o torque para o eixo do motor (assumindo engrenagem sem perdas). Relação:
T_{\text{motor}}=\frac{T_{\text{tambor}}}{i}
Substituindo:
T_{\text{motor}}=\frac{49{,}050}{46{,}0638}\approx 1{,}065{,}2\times 10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m}
Ou seja, T_{\text{motor}}\approx 1{,}065\times 10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m} (aprox. 1{,}065\\ \text{kN}\cdot\text{m}). Este é o torque mínimo que o motor deve fornecer em regime estacionário para içar a carga a 1\\ \text{m/s}.

Passo 6

Calcular a potência necessária em regime permanente. Forma direta (força × velocidade):
P=F\cdot v=196{,}200\cdot 1=196{,}200\\ \text{W}=196{,}2\\ \text{kW}
Checagem via torque e velocidade do motor: primeiro a velocidade angular do motor
\omega_{\text{motor}}=2\pi\frac{N_n}{60}=2\pi\frac{1760}{60}=\frac{176\pi}{3}\approx 184{,}307\\ \text{rad/s}
Potência pelo torque do motor:
P=T_{\text{motor}}\cdot \omega_{\text{motor}}\approx 1{,}065{,}2\times 10^{3}\cdot 184{,}307\approx 196{,}2\\ \text{kW}
Ótimo: as duas formas coincidem (diferenças pequenas são apenas de arredondamento). Portanto o motor precisa entregar cerca de 196{,}2\\ \text{kW} em regime permanente. Isto responde a parte (b): torque exigido e potência.

Passo 7

Relacionando T_{\max}/T_n=3 com a necessidade prática: para que o motor consiga manter o içamento em regime permanente, o torque nominal do motor T_n deve ser pelo menos T_{\text{motor}} calculado. Vou adotar a escolha natural (e conservadora) de projetar com T_n=T_{\text{motor}}. Assim:
T_n\approx 1{,}065{,}2\times 10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m}
e então
T_{\max}=3T_n\approx 3\cdot 1{,}065{,}2\times 10^{3}=3{,}195{,}6\times 10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m}.
(Expliquei isso porque o enunciado deu só a razão T_{\max}/T_n; sem o valor de T_n precisamos garantir que T_n seja pelo menos o torque de regime — é um raciocínio de projeto.)

Passo 8

Preparar o cálculo de aceleração: refletir a inércia da massa para o eixo do motor. Primeiro a inércia equivalente do corpo transladando (massa) vista no tambor:
J_{\text{carga}}=m r^{2}=20{,}000\cdot (0{,}25)^{2}=1{,}250\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}
Refletida para o eixo do motor por i:
J_{\text{refletida}}=\frac{J_{\text{carga}}}{i^{2}}
Calculo numérico (usar i\approx 46{,}0638):
J_{\text{refletida}}=\frac{1{,}250}{(46{,}0638)^{2}}\approx 0{,}5892\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}
Inércia total vista pelo motor:
J_{\text{total}}=J_{m}+J_{\text{refletida}}=0{,}1+0{,}5892\approx 0{,}6892\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}

Passo 9

Determinar o torque disponível para acelerar (torque útil para aceleração) e a aceleração angular. O torque útil no eixo do motor, assumindo que durante a partida o motor fornece T_{\max} constante, é:
T_{\text{útil}}=T_{\max}-T_{\text{motor}}ú
Substituindo os valores:
T_{\text{útil}}=3{,}195{,}6\times 10^{3}-1{,}065{,}2\times 10^{3}=2{,}130{,}4\times 10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m}ú
A aceleração angular do motor (assumindo torque constante) é dada por:
\alpha=\frac{T_{\text{útil}}}{J_{\text{total}}}=\frac{2{,}130{,}4\times 10^{3}}{0{,}6892}\approx 3{,}092{,}9\!\times\!10^{3}\\ \text{rad/s}^{2}ú

Passo 10

Calcular o tempo para acelerar do repouso até a velocidade nominal do motor. Usamos movimento rotacional com aceleração angular constante:
t=\frac{\Delta \omega}{\alpha}
onde \Delta\omega=\omega_{\text{motor}} (parte do repouso até a velocidade nominal). Já calculamos \omega_{\text{motor}}\approx 184{,}307\\ \text{rad/s}. Assim:
t=\frac{184{,}307}{3{,}092{,}9\times 10^{3}}\approx 0{,}0596\\ \text{s}
Arredondando: t\approx 0{,}060\\ \text{s}. Observação prática (importante): esse resultado é muito pequeno porque a inércia refletida, após multiplicação pela redução elevada ( i\approx 46), fica pequena no eixo do motor; além disso, estamos assumindo que o motor fornece o torque máximo durante toda a aceleração e que não há perdas mecânicas nem limites do inversor. Na prática, o tempo real será maior por limitações térmicas, rampas do inversor, atrito, folgas e limites de segurança — mas matematicamente, com as hipóteses do enunciado, esse é o valor.

Resposta

a) Relação de engrenagens i=\dfrac{n_{\text{motor}}}{n_{\text{tambor}}}\approx 46{,}06:1
b) Torque no motor em regime permanente T_{\text{motor}}\approx 1{,}065\times 10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m} ; potência requerida P\approx 196{,}2\\ \text{kW}
c) Tempo de aceleração (com T_{\max}=3T_n e T_n=T_{\text{motor}} assumido) t\approx 0{,}060\\ \text{s}

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