Um carro encontra-se parado à beira da estrada com o alarme a emitir uma onda sonora sinusoidal com apenas uma frequência. Você desloca-se em direcção ao carro e depois afasta-se mantendo sempre uma velocidade constante. Imagine que enquanto se deslocava em direcção ao carro ouvia um som com frequência 853 Hz e que, ao se afastar, ouvia uma frequência de 741 Hz . Calcule a frequência emitida pelo carro se ouvida por um observador em repouso e a velocidade com que se desloca no seu carro.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- O alarme do carro (a fonte) está parado (fonte em repouso).
- Ao deslocar-se em direção ao carro com velocidade constante, a frequência ouvida foi
. - Ao afastar-se do carro com velocidade constante (mesmo módulo de velocidade, apenas sentido oposto), a frequência ouvida foi
.
-
O que precisa ser determinado:
- A frequência emitida pelo carro medida por um observador em repouso (ou seja, a frequência da fonte,
). - A velocidade com que você (o observador) se deslocava no carro (módulo da velocidade
).
- A frequência emitida pelo carro medida por um observador em repouso (ou seja, a frequência da fonte,
-
Observação/assunção física necessária (comum neste tipo de problema): tomar a velocidade do som no ar como
(valor aproximado a ). Vou usar esse valor para obter numérico.
Passo 2
Apresentar a fórmula que relaciona frequência observada e frequência da fonte (caso de fonte em repouso e observador em movimento).
- Quando a fonte está em repouso e o observador se move, a frequência observada
é dada por
onde:
-
é a frequência percebida pelo observador, -
é a frequência emitida pela fonte (o que queremos achar), -
é a velocidade do som no meio (aqui assumida ), -
é a velocidade do observador em relação ao ar (sempre positiva como módulo), - o sinal
é usado quando o observador se move em direção à fonte (aumenta a frequência), - o sinal
é usado quando o observador se afasta da fonte (diminui a frequência).
Explicação curta e intuitiva: se o observador se move em direção à fonte ele intercepta mais frentes de onda por segundo, aumentando a frequência percebida; ao afastar-se intercepta menos, diminuindo a frequência.
Passo 3
Escrever as duas equações do problema usando a fórmula acima.
- Aproximando (movendo-se em direção ao carro) a frequência observada foi
:
- Ao afastar-se, a frequência observada foi
:
Estas duas equações contêm as duas incógnitas
e
.
Passo 4
Resolver algebricamente para
somando as duas equações (procedimento passo a passo).
Multiplicar cada equação por
para eliminar o denominador:
Somando termos lado a lado:
No lado direito os termos com
se cancelam:
Isolando
:
Calcular numericamente:
Observação útil: repare que
não depende de
(velocidade do som) nessa manipulação — é simplesmente a média aritmética das duas frequências observadas quando o observador se aproxima e afasta com mesma rapidez.
Passo 5
Determinar
usando a diferença entre as duas equações (passo a passo).
Subtrair a equação “afastando” da equação “aproximando” (ou vice-versa). Usando as formas multiplicadas por
:
No lado direito os termos com
se cancelam e sobram os termos com
:
Isolando
:
Agora substituir os valores numéricos:
e
.
Calcular passo a passo:
Calcular passo a passo:
Fazendo a divisão:
Converter para km/h (opcional, útil para intuição): multiplicar por
:
Passo 6
Verificação rápida (consistência):
- Calcular a frequência prevista quando se aproxima com
:
- Quando se afasta:
Portanto os valores são consistentes com os dados iniciais (pequenas diferenças numéricas desapareceriam usando mais casas decimais em
).