Um carro encontra-se parado à beira da estrada com o alarme a emitir uma onda sonora sinusoidal com apenas uma frequência. Você desloca-se em direcção ao carro e depois afasta-se mantendo sempre uma velocidade constante. Imagine que enquanto se deslocava em direcção ao carro ouvia um som com frequência 853 Hz e que, ao se afastar, ouvia uma frequência de 741 Hz . Calcule a frequência emitida pelo carro se ouvida por um observador em repouso e a velocidade com que se desloca no seu carro.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • O alarme do carro (a fonte) está parado (fonte em repouso).
    • Ao deslocar-se em direção ao carro com velocidade constante, a frequência ouvida foi 853\\ \mathrm{Hz}.
    • Ao afastar-se do carro com velocidade constante (mesmo módulo de velocidade, apenas sentido oposto), a frequência ouvida foi 741\\ \mathrm{Hz}.
  • O que precisa ser determinado:
    • A frequência emitida pelo carro medida por um observador em repouso (ou seja, a frequência da fonte, f).
    • A velocidade com que você (o observador) se deslocava no carro (módulo da velocidade v_o).
  • Observação/assunção física necessária (comum neste tipo de problema): tomar a velocidade do som no ar como v = 343\\ \mathrm{m/s} (valor aproximado a 20^\circ\mathrm{C}). Vou usar esse valor para obter v_o numérico.

Passo 2

Apresentar a fórmula que relaciona frequência observada e frequência da fonte (caso de fonte em repouso e observador em movimento).
  • Quando a fonte está em repouso e o observador se move, a frequência observada f' é dada por
f' = f\,\frac{v \pm v_o}{v},
onde:
  • f' é a frequência percebida pelo observador,
  • f é a frequência emitida pela fonte (o que queremos achar),
  • v é a velocidade do som no meio (aqui assumida 343\\ \mathrm{m/s}),
  • v_o é a velocidade do observador em relação ao ar (sempre positiva como módulo),
  • o sinal + é usado quando o observador se move em direção à fonte (aumenta a frequência),
  • o sinal - é usado quando o observador se afasta da fonte (diminui a frequência).
Explicação curta e intuitiva: se o observador se move em direção à fonte ele intercepta mais frentes de onda por segundo, aumentando a frequência percebida; ao afastar-se intercepta menos, diminuindo a frequência.

Passo 3

Escrever as duas equações do problema usando a fórmula acima.
  • Aproximando (movendo-se em direção ao carro) a frequência observada foi 853\\ \mathrm{Hz}:
853 = f\,\frac{v + v_o}{v}.
  • Ao afastar-se, a frequência observada foi 741\\ \mathrm{Hz}:
741 = f\,\frac{v - v_o}{v}.
Estas duas equações contêm as duas incógnitas f e v_o.

Passo 4

Resolver algebricamente para f somando as duas equações (procedimento passo a passo).
Multiplicar cada equação por v para eliminar o denominador:
853\,v = f\,(v + v_o),
741\,v = f\,(v - v_o).
Somando termos lado a lado:
853\,v + 741\,v = f\,(v+v_o) + f\,(v-v_o).
No lado direito os termos com v_o se cancelam:
(853+741)\,v = f\,(2v).
Isolando f:
f = \frac{853+741}{2}.
Calcular numericamente:
f = \frac{1594}{2} = 797\\ \mathrm{Hz}.
Observação útil: repare que f não depende de v (velocidade do som) nessa manipulação — é simplesmente a média aritmética das duas frequências observadas quando o observador se aproxima e afasta com mesma rapidez.

Passo 5

Determinar v_o usando a diferença entre as duas equações (passo a passo).
Subtrair a equação “afastando” da equação “aproximando” (ou vice-versa). Usando as formas multiplicadas por v:
853\,v - 741\,v = f\,(v+v_o) - f\,(v-v_o).
No lado direito os termos com v se cancelam e sobram os termos com v_o:
(853-741)\,v = f\,(2 v_o).
Isolando v_o:
v_o = \frac{(853-741)\,v}{2f} = \frac{112\,v}{2f} = \frac{56\,v}{f}.
Agora substituir os valores numéricos: v = 343\\ \mathrm{m/s} e f = 797\\ \mathrm{Hz}.
Calcular passo a passo:
56\cdot v = 56\cdot 343 = 19208.
v_o = \frac{19208}{797}\\ \mathrm{m/s}.
Fazendo a divisão:
v_o \approx 24,10\\ \mathrm{m/s}.
Converter para km/h (opcional, útil para intuição): multiplicar por 3{,}6:
v_o \approx 24,10 \times 3{,}6 \approx 86,76\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Verificação rápida (consistência):
  • Calcular a frequência prevista quando se aproxima com v_o:
f_{\text{aprox}} = f\frac{v+v_o}{v} = 797\frac{343+24{,}100376\ldots}{343}\approx 853\\ \mathrm{Hz},
  • Quando se afasta:
f_{\text{afast}} = 797\frac{343-24{,}100376\ldots}{343}\approx 741\\ \mathrm{Hz}.
Portanto os valores são consistentes com os dados iniciais (pequenas diferenças numéricas desapareceriam usando mais casas decimais em v_o).

Resposta

f = 797\\ \mathrm{Hz}
v_o \approx 24,10\\ \mathrm{m/s} \approx 86,76\\ \mathrm{km/h}

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