Um comboio a vapor tem um apito que emite sons de frequência 500 Hz . Calcule a frequência da onda sonora que um observador em repouso ouve quando o comboio se aproxima e depois se afasta com uma velocidade constante de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a frequência sonora que o observador em repouso ouve nas duas situações:
  • quando o comboio se aproxima;
  • quando o comboio se afasta.
Dados fornecidos:
  • frequência da fonte (apito): f=500\\ \text{Hz} (valor do enunciado);
  • velocidade do comboio (fonte): v_{s}=40\\ \text{m/s} (valor do enunciado);
  • o observador está em repouso (peguei essa informação da imagem: o observador aparece parado a cavalo, vendo o comboio);
  • a velocidade do som no ar não foi dada no enunciado. Vou assumir o valor típico à temperatura ambiente \,v=340\\ \text{m/s}\, (escolha comum em exercícios — explico depois como isso afeta o resultado).
O que precisamos encontrar:
  • f_{\text{aprox}}: frequência ouvida quando o comboio se aproxima;
  • f_{\text{afast}}: frequência ouvida quando o comboio se afasta.

Passo 2

Explicando o efeito Doppler (passo a passo e de forma intuitiva).
  • Ideia física: se a fonte sonora se move em direção ao observador, ela emite sucessivas frentes de onda mais próximas umas das outras na direção do movimento — isto é, o comprimento de onda efetivo na frente diminui, então o observador recebe uma frequência maior. Se a fonte se afasta, o comprimento de onda aumenta e a frequência percebida diminui.
  • Variáveis que vamos usar:
    • f: frequência emitida pela fonte (apito), em \text{Hz}.
    • f': frequência percebida pelo observador (o que queremos).
    • v: velocidade do som no meio (ar), em \text{m/s}.
    • v_{s}: velocidade da fonte (comboio), em \text{m/s}. Para o observador em repouso, a velocidade do observador é zero.
Derivação simples (sem pular etapas):
  • Se a fonte estivesse parada, o comprimento de onda produzido seria
\lambda = \frac{v}{f},
pois a distância percorrida pela onda em um período T=1/f é vT.
  • Quando a fonte se move com velocidade v_{s} na direção do observador, entre o momento em que emite uma frente de onda e a próxima, a fonte se desloca uma distância v_{s}T. Assim o comprimento de onda efetivo na direção frente à qual a fonte se dirige fica reduzido para
\lambda_{\text{frente}} = vT - v_{s}T = (v - v_{s})T = \frac{v - v_{s}}{f}.
  • O observador em repouso registra então uma frequência
f' = \frac{v}{\lambda_{\text{frente}}} = \frac{v}{(v - v_{s})/f} = f\cdot\frac{v}{v - v_{s}}.
  • Analogamente, se a fonte se afasta do observador, a fonte aumenta a separação entre frentes, o comprimento de onda efetivo é
\lambda_{\text{atrás}} = \frac{v + v_{s}}{f},á
e a frequência percebida é
f' = f\cdot\frac{v}{v + v_{s}}.
Resumo das fórmulas que vamos usar:
  • aproximação:
f_{\text{aprox}} = f\cdot\frac{v}{v - v_{s}}.
  • afastamento:
f_{\text{afast}} = f\cdot\frac{v}{v + v_{s}}.

Passo 3

Aplicar a fórmula para o caso de aproximação usando os números dados.
  • Substituindo f=500\\ \text{Hz}, v=340\\ \text{m/s}, v_{s}=40\\ \text{m/s}:
f_{\text{aprox}} = 500\cdot\frac{340}{340-40}.
  • Calcular o denominador:
340-40 = 300.
  • Simplificar a fração:
\frac{340}{300}=\frac{34}{30}=\frac{17}{15}.
  • Portanto
f_{\text{aprox}} = 500\cdot\frac{17}{15}.
  • Fazer a multiplicação passo a passo: primeiro 500/15=\frac{500}{15}=\frac{100}{3}. Multiplicando por 17:
f_{\text{aprox}} = \frac{100}{3}\cdot 17 = \frac{1700}{3}\\ \text{Hz}.
  • Converter em número decimal:
\frac{1700}{3}\approx 566{,}666\ldots\\ \text{Hz}.
  • Arredondando com uma casa decimal (suficiente para prova):
f_{\text{aprox}}\approx 566{,}7\\ \text{Hz}.

Passo 4

Aplicar a fórmula para o caso de afastamento.
  • Substituindo os valores:
f_{\text{afast}} = 500\cdot\frac{340}{340+40}.
  • Calcular o denominador:
340+40 = 380.
  • Simplificar a fração:
\frac{340}{380}=\frac{34}{38}=\frac{17}{19}.
  • Portanto
f_{\text{afast}} = 500\cdot\frac{17}{19}.
  • Fazer a multiplicação passo a passo: 500\cdot17=8500, logo
f_{\text{afast}} = \frac{8500}{19}\\ \text{Hz}.
  • Converter em decimal (dividindo): 19 cabe 447 vezes em 8500 ( 19\times447=8493), resto 7, então
\frac{8500}{19}\approx 447{,}368\ldots\\ \text{Hz}.
  • Arredondando com uma casa decimal:
f_{\text{afast}}\approx 447{,}4\\ \text{Hz}.

Passo 5

Comentários finais e checagem rápida:
  • As fórmulas usadas são as apropriadas para fonte em movimento e observador em repouso.
  • O resultado depende ligeiramente do valor adotado para v. Usei v=340\\ \text{m/s} por ser um valor padrão em problemas; se usar v=343\\ \text{m/s} (outro valor comumente adotado), os números mudam pouco (aprox. f_{\text{aprox}}\approx 571{,}4\\ \text{Hz} e f_{\text{afast}}\approx 452{,}6\\ \text{Hz}), mas o procedimento é o mesmo.
  • Não se esqueça, na prova: identifique se é a fonte ou o observador que se move; escolha o sinal correto no denominador (menos para aproximação, mais para afastamento) e expresse bem as unidades.

Resposta

f_{\text{aprox}} \approx 566{,}7\\ \text{Hz}
f_{\text{afast}} \approx 447{,}4\\ \text{Hz}

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