Um carro pára em um semáforo. A seguir, ele percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância ao sinal é dada por x(t)=b t^2-c t^3, onde x é dado em metros e t em segundos. (a) Quais são as dimensões e as unidades de b e c ? (b) Considerando b=2,40 e c=0,12, quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso ? Resp: t=13,3 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um carro que para num semáforo e depois começa a se mover seguindo a equação $ x(t) = b t^{2} - c t^{3} $, onde $ x $ é a distância em metros e $ t $ é o tempo em segundos. Hoje vamos trabalhar com duas partes desse exercício:
(a) Descobrir quais são as dimensões e unidades das constantes $ b $ e $ c $.
(b) Calcular quanto tempo depois que o carro começa a se mover ele para de novo, usando os valores de $ b = 2,40 $ e $ c = 0,12 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as dimensões físicas e como manipular equações com tempo e distância.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a), onde queremos encontrar as dimensões e unidades de $ b $ e $ c $.
A equação dada é:
b
Sabemos que $ x(t) $ tem dimensão de comprimento ($ L $) e unidade de metros (m). O tempo $ t $ tem dimensão de tempo ($ T $) e unidade de segundos (s).
Para que a equação faça sentido, cada termo do lado direito também deve ter a dimensão de comprimento ($ L $).
Para o termo $ b t^{2} $:
c
x(t) = b t^2 - c t^3
Então, a dimensão de $ b $ é $ L T^{-2} $ e a unidade é metros por segundo ao quadrado (m/s²).
Para o termo $ c t^{3} $:
x(t)
L
Assim, a dimensão de $ c $ é $ L T^{-3} $ e a unidade é metros por segundo ao cubo (m/s³).

Passo 3

Agora vamos para a parte (b). Queremos saber quanto tempo depois que o carro começa a se mover ele para de novo. Isso acontece quando a velocidade do carro é zero.
Primeiro, vamos encontrar a velocidade $ v(t) $, que é a derivada da posição $ x(t) $ em relação ao tempo:
v(t)
Para o carro parar, $ v(t) = 0 $:
x(t)
v(t) = dx(t)dt = 2b t - 3c t^2
Então, temos duas soluções:
  1. $ t = 0 $ segundos (o momento inicial, onde ele já está parado).
  2. $ 2b - 3c t = 0 $ → $ t = \frac{2b}{3c} $
Agora, substituindo os valores dados $ b = 2,40 $ e $ c = 0,12 $:
v(t) = 0
Arredondando, temos aproximadamente 13,3 segundos.

Resposta

$ t = 13,3 , \mathrm{s} $.

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