Dada a equação de uma onda em um fio, xi=0,03 sen (3 x-2 t), onde xi e x estão em metros e t em segundos, responda ao que segue: (a) No instante t=0, qual é o deslocamento para x=0,0,1 m, 0,2 m, e 0,3 m? (b) Para x=0,1 m, qual é o deslocamento no instante t=0 ; 0,1 s e 0,2 s? © Qual é a equação para a velocidade de oscilação das partículas da corda? Qual é a velocidade máxima de oscilação? (d) Qual é a velocidade de propagação da onda?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de uma onda em um fio: xi = 0,03 sin(3x - 2t), onde xi é o deslocamento em metros, x também em metros, e t é o tempo em segundos. A matéria envolvida aqui é o estudo das ondas mecânicas, especificamente ondas em um meio como um fio. Para resolver os diferentes itens, vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas e derivadas para achar velocidades.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): No instante t = 0, qual é o deslocamento para x = 0,0 m, 0,1 m, 0,2 m e 0,3 m?
A equação dada é xi = 0,03 sin(3x - 2t). No instante t = 0, substituímos t por 0:
xi = 0,03 sin(3x - 0) = 0,03 sin(3x)
Agora, calculamos para cada valor de x:
  1. Para x = 0,0 m:
xi = 0,03 sin(3 times 0) = 0,03 times 0 = 0 , m
  1. Para x = 0,1 m:
xi = 0,03 sin(3 times 0,1) = 0,03 sin(0,3) approx 0,03 times 0,2955 approx 0,0089 , m
  1. Para x = 0,2 m:
xi = 0,03 sin(3 times 0,2) = 0,03 sin(0,6) approx 0,03 times 0,5646 approx 0,0169 , m
  1. Para x = 0,3 m:
xi = 0,03 sin(3 times 0,3) = 0,03 sin(0,9) approx 0,03 times 0,7833 approx 0,0235 , m

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Para x = 0,1 m, qual é o deslocamento nos instantes t = 0 s; t = 0,1 s e t = 0,2 s?
A equação é a mesma: xi = 0,03 sin(3x - 2t). Substituímos x = 0,1 m:
xi = 0,03 sin(3 times 0,1 - 2t) = 0,03 sin(0,3 - 2t)
Agora, calculamos para cada valor de t:
  1. Para t = 0 s:
xi = 0,03 sin(0,3 - 0) = 0,03 sin(0,3) approx 0,03 times 0,2955 approx 0,0089 , m
  1. Para t = 0,1 s:
xi = 0,03 sin(0,3 - 2 times 0,1) = 0,03 sin(0,3 - 0,2) = 0,03 sin(0,1) approx 0,03 times 0,0998 approx 0,003 , m
  1. Para t = 0,2 s:
xi = 0,03 sin(0,3 - 2 times 0,2) = 0,03 sin(0,3 - 0,4) = 0,03 sin(-0,1) approx 0,03 times (-0,0998) approx -0,003 , m

Passo 4

Vamos para a parte ©: Qual é a equação para a velocidade de oscilação das partículas da corda? Qual é a velocidade máxima de oscilação?
A velocidade de oscilação ( v) é a derivada do deslocamento ( xi) em relação ao tempo ( t):
v = partial xipartial t = partialpartial t [0,03 sin(3x - 2t)]
Aplicando a derivada:
v = 0,03 times cos(3x - 2t) times (-2) = -0,06 cos(3x - 2t)
Para a velocidade máxima, sabemos que o cosseno varia entre -1 e 1, então o valor máximo absoluto de v será:
|vmáx| = 0,06 , m/s á

Passo 5

Finalmente, a parte (d): Qual é a velocidade de propagação da onda?
A velocidade de propagação ( vp) de uma onda é dada pela relação entre a frequência angular ( omega) e o número de onda ( k):
vp = omegak
Observando a equação da onda xi = 0,03 sin(3x - 2t), podemos identificar:
  • Número de onda: k = 3 , rad/m
  • Frequência angular: omega = 2 , rad/s
Então,
vp = 23 approx 0,6667 , m/s

Resposta

a) Os deslocamentos no instante t = 0 são:
  • x = 0,0 m: xi = 0 m
  • x = 0,1 m: xi approx 0,0089 m
  • x = 0,2 m: xi approx 0,0169 m
  • x = 0,3 m: xi approx 0,0235 m
b) Os deslocamentos para x = 0,1 m são:
  • t = 0 s: xi approx 0,0089 m
  • t = 0,1 s: xi approx 0,003 m
  • t = 0,2 s: xi approx -0,003 m
c) A equação da velocidade de oscilação é v = -0,06 cos(3x - 2t) m/s. A velocidade máxima de oscilação é 0,06 m/s.
d) A velocidade de propagação da onda é aproximadamente 0,6667 m/s.

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