Dada a equação de uma onda em um fio,
, onde
e
estão em metros e
em segundos, responda ao que segue: (a) No instante
, qual é o deslocamento para
? (b) Para
, qual é o deslocamento no instante
e
? © Qual é a equação para a velocidade de oscilação das partículas da corda? Qual é a velocidade máxima de oscilação? (d) Qual é a velocidade de propagação da onda?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de uma onda em um fio:
, onde
é o deslocamento em metros,
também em metros, e
é o tempo em segundos. A matéria envolvida aqui é o estudo das ondas mecânicas, especificamente ondas em um meio como um fio. Para resolver os diferentes itens, vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas e derivadas para achar velocidades.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): No instante
, qual é o deslocamento para
m,
m,
m e
m?
A equação dada é
. No instante
, substituímos
por 0:
Agora, calculamos para cada valor de
:
- Para
m:
- Para
m:
- Para
m:
- Para
m:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): Para
m, qual é o deslocamento nos instantes
s;
s e
s?
A equação é a mesma:
. Substituímos
m:
Agora, calculamos para cada valor de
:
- Para
s:
- Para
s:
- Para
s:
Passo 4
Vamos para a parte ©: Qual é a equação para a velocidade de oscilação das partículas da corda? Qual é a velocidade máxima de oscilação?
A velocidade de oscilação (
) é a derivada do deslocamento (
) em relação ao tempo (
):
Aplicando a derivada:
Para a velocidade máxima, sabemos que o cosseno varia entre -1 e 1, então o valor máximo absoluto de
será:
Passo 5
Finalmente, a parte (d): Qual é a velocidade de propagação da onda?
A velocidade de propagação (
) de uma onda é dada pela relação entre a frequência angular (
) e o número de onda (
):
Observando a equação da onda
, podemos identificar:
- Número de onda:
- Frequência angular:
Então,
Resposta
a) Os deslocamentos no instante
são:
-
m: m -
m: m -
m: m -
m: m
b) Os deslocamentos para
m são:
-
s: m -
s: m -
s: m
c) A equação da velocidade de oscilação é
m/s. A velocidade máxima de oscilação é
m/s.
d) A velocidade de propagação da onda é aproximadamente
m/s.