Um carro de teste parte do repouso em uma pista horizontal circular de 80 m de raio e aumenta sua velocidade a uma taxa uniforme para até alcançar 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em 10 segundos. Determine o módulo a da aceleração total do carro 8 segundos apos a partida ( R e s p . a=6,77 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )

Passo 1

O enunciado pede o módulo da aceleração total do carro no instante t=8\\ \mathrm{s} depois da partida. Dados fornecidos:
R=80\\ \mathrm{m},
v(0)=0\\ (\text{o carro parte do repouso}),
o carro atinge v(10\\ \mathrm{s})=100\\ \mathrm{km/h}.
Pergunta: qual é o módulo a da aceleração total em t=8\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicadinhas):
  • Quando um móvel se desloca numa trajetória circular e a velocidade escalar muda, a aceleração total tem duas componentes: tangencial a_t (que muda o módulo da velocidade) e normal/centrípeta a_n (que altera a direção). O módulo da aceleração total é
a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}.
Aqui:
  • a_t=\dfrac{dv}{dt} é a taxa de variação da velocidade escalar (unidade \mathrm{m}/\mathrm{s}^2).
  • a_n=\dfrac{v^2}{R} é a aceleração centrípeta, com v sendo a velocidade escalar no instante considerado e R o raio da curva.
    Explicando em palavras: a_t faz o carro “acelerar” no sentido do movimento; a_n aponta para o centro da curva e mantém o carro na trajetória circular. Para achar a em t=8\\ \mathrm{s} precisamos de a_t (constante aqui) e de v(8) para calcular a_n.

Passo 3

Converter a velocidade final dada para \mathrm{m}/\mathrm{s}. A conversão é:
100\\ \mathrm{km/h}=100\cdot \frac{1000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}}=\frac{100000}{3600}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{250}{9}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 4

Como a velocidade aumenta a uma taxa uniforme (ou seja, aceleração tangencial constante) e parte do repouso, a aceleração tangencial é
a_t=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\tfrac{250}{9}-0}{10}=\frac{25}{9}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Interpretação: para aumentar de 0 até \tfrac{250}{9}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} em 10\\ \mathrm{s} precisa de a_t=\tfrac{25}{9}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (aprox. 2,78\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}).

Passo 5

Velocidade no instante t=8\\ \mathrm{s}:
v(8)=v(0)+a_t\cdot 8 = 0 + \frac{25}{9}\cdot 8 = \frac{200}{9}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Valor aproximado: \dfrac{200}{9}\approx 22,22\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 6

Calcular a aceleração normal (centrípeta) em t=8\\ \mathrm{s}:
a_n=\frac{v(8)^2}{R}=\frac{\left(\dfrac{200}{9}\right)^2}{80}=\frac{40000}{81}\cdot\frac{1}{80}=\frac{500}{81}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Valor aproximado: \dfrac{500}{81}\approx 6,17\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Passo 7

Agora o módulo da aceleração total:
a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}.
Substituindo as frações exatas:
a_t^2=\left(\frac{25}{9}\right)^2=\frac{625}{81},
a_n^2=\left(\frac{500}{81}\right)^2=\frac{250000}{6561}.
Somando com denominador comum 6561:
a^2=\frac{50625+250000}{6561}=\frac{300625}{6561}.
Portanto
a=\sqrt{\frac{300625}{6561}}=\frac{\sqrt{300625}}{81}\approx 6,77\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Resposta

6,77\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}

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