Num freio a tambor com sapata interna sabemos que a pressão máxima de 1000 kPa ocorre na posição \theta 2=80^{\circ}. Nessas condições a pressão quando a sapata está a 45^{\circ} é igual a quanto?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Dado: a pressão máxima é 1000\\ \text{kPa} e ela ocorre na posição \theta_2 = 80^\circ.
  • Pergunta: qual é a pressão quando a sapata está em \theta = 45^\circ?
Listando de forma limpa:
  • Pressão máxima: p_{\max}=1000\\ \text{kPa}()
  • Posição de máximo: \theta_2=80^\circ()
  • Posição desejada: \theta=45^\circ )

Passo 2

Qual modelo usar? O enunciado não diz explicitamente como varia a pressão com o ângulo, mas em problemas de contato ao longo de uma periferia circular (como sapata em tambor) é muito comum aproximar a distribuição de pressão por uma função em forma de cosseno centrada no ponto de máxima pressão. Ou seja, assumimos que a pressão ao longo do ângulo se comporta como um cosseno deslocado, de modo que a pressão atinge seu máximo exatamente em \theta_2 e decresce simetricamente em torno desse ponto. Vou explicar e aplicar esse modelo porque é o mais simples, frequentemente usado em provas e compatível com a informação "pressão máxima em \theta_2".

Passo 3

Apresentando a fórmula e explicando cada variável:
p(\theta)=p_{\max}\cos\bigl(\theta-\theta_2\bigr).
Onde:
  • p(\theta) é a pressão no ângulo \theta.()
  • p_{\max} é a pressão máxima (ocorre em \theta=\theta_2).()
  • \cos é a função cosseno (medida em graus aqui, porque os ângulos do enunciado estão em graus). ()
Essa fórmula dá p(\theta_2)=p_{\max}\cos(0)=p_{\max}, ou seja, o máximo em \theta_2, como nos foi informado.)

Passo 4

Aplicando a fórmula para \theta=45^\circ. Primeiro calculamos a diferença de ângulo:
\theta-\theta_2 = 45^\circ-80^\circ = -35^\circ.

Passo 5

Usamos a propriedade do cosseno \cos(-\alpha)=\cos(\alpha). Portanto
\cos(45^\circ-80^\circ)=\cos(-35^\circ)=\cos(35^\circ).
Assim a pressão é
p(45^\circ)=p_{\max}\cos(35^\circ).

Passo 6

Substituímos os valores numéricos:
p(45^\circ)=1000\\ \text{kPa}\times\cos(35^\circ).
Agora precisamos do valor numérico de \cos(35^\circ). Uma aproximação comum é
\cos(35^\circ)\approx 0{,}81915.

Passo 7

Multiplicando:
p(45^\circ)\approx 1000\times 0{,}81915 = 819{,}15\\ \text{kPa}.
Arredondando para uma precisão razoável (duas casas significativas é suficiente para prova), podemos dar 819{,}2\\ \text{kPa} ou simplesmente 819\\ \text{kPa}.

Resposta

819{,}15\\ \text{kPa}

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