Um freio a tambor com sapatas internas está instalado num tambor de 240 mm de diâmetro. A distância entre o pivô da sapata e o centro do tambor é 100 mm , a largura de face da sapata é igual a 30 mm , a pressão máxima é 1000 kPa . A sapata está localizada indo do ângulo de 0^{\circ} a 80^{\circ}, sendo nessa extremidade que a força está sendo aplicada. O coeficiente de atrito é 0,32 . Nessas condições, a capacidade de frenagem do sistema é, aproximadamente, igual a quanto?

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (em forma bem clara):
  • Diâmetro do tambor: 240\\ \text{mm}.
  • Raio do tambor: r=120\\ \text{mm}.
  • Distância entre pivô da sapata e o centro do tambor: 100\\ \text{mm}. (Informação dada pelo enunciado.)
  • Largura da face da sapata: b=30\\ \text{mm}.
  • Pressão máxima de contato: p_{\max}=1000\\ \text{kPa}.
  • Sapata cobre o arco de \;0^\circ até \;80^\circ (ou seja, ângulo do contato \theta=80^\circ). A força (ato de frenagem) está sendo aplicada nessa extremidade (ângulo de 80^\circ).
  • Coeficiente de atrito: \mu=0{,}32.
Pergunta do enunciado: calcular a capacidade de frenagem do sistema — ou seja, o torque de frenagem desenvolvido pelo atrito entre sapata e tambor, nas condições dadas.

Passo 2

Converter unidades e obter valores numéricos prontos para cálculo (sempre importante evitar confusão de unidades):
  • Converter milímetros para metros: r = 120\\ \text{mm} = 0{,}120\\ \text{m},\qquad b = 30\\ \text{mm} = 0{,}030\\ \text{m}.
  • Converter pressão em kPa para Pa (SI): p_{\max}=1000\\ \text{kPa}=1000\times10^{3}\\ \text{Pa}=1{,}0\times10^{6}\\ \text{Pa}.
  • Converter ângulo para radianos (porque integração usa radiano): \theta = 80^\circ = \frac{80\pi}{180} = \frac{4\pi}{9}\\ \text{rad}\approx 1{,}3962634\\ \text{rad}.

Passo 3

Entender o modelo físico e a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Pressão p (em Pa) é definida como força normal por unidade de área: p = \dfrac{dF_N}{dA}. Aqui o enunciado fornece a pressão máxima e, para este problema, vamos assumir pressão uniforme igual a p_{\max} sobre a área de contato (modelo comum em exercícios quando se dá uma pressão constante).
  • Força de atrito elementar é \;dF_T=\mu\,dF_N=\mu\,p\,dA.
  • Área elementar de um anel de contato correspondente a um pequeno ângulo d\theta é \;dA = r\,d\theta \cdot b (arc length r\,d\theta vezes largura b).
  • Momento (torque) elementar em torno do centro do tambor é dM = dF_T\cdot r = \mu\,p\,(r\,d\theta\,b)\,r = \mu\,p\,b\,r^{2}\,d\theta.
  • Integrando sobre o ângulo de contato obtemos o torque total M: M=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\mu\,p\,b\,r^{2}\,d\theta=\mu\,p\,b\,r^{2}\,\theta,quando p e r e b são constantes e \theta é o ângulo total (em radianos).
    Observação didática rápida: outra visão é calcular a força de atrito resultante F_T=\mu p A com A=r\theta b e depois multiplicar por r para obter o torque; dá o mesmo resultado porque M=F_T\cdot r=\mu p (r\theta b) r=\mu p b r^2 \theta.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os valores numéricos (calculemos passo a passo para você poder repetir na prova sem erro):
  • Primeiro calcule r^{2}: r^{2} = (0{,}120)^{2} = 0{,}0144\\ \text{m}^{2}.
  • Calcule o produto \mu\,p\,b\,r^{2}: \mu\,p\,b\,r^{2} = 0{,}32 \times 1{,}0\times10^{6} \times 0{,}030 \times 0{,}0144.Vamos simplificar em etapas: 1{,}0\times10^{6}\times 0{,}030\times 0{,}0144 = 1{,}0\times10^{6}\times 0{,}000432 = 432.Então \mu\,p\,b\,r^{2} = 0{,}32\times 432 = 138{,}24.A unidade desse número é N·m/rad (pois ainda falta multiplicar por \theta em radianos).
  • Agora multiplique por \theta: M = 138{,}24 \times \theta = 138{,}24 \times 1{,}3962634 \approx 193{,}05\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 5

Checagem rápida (para ganhar confiança): calcule a área de contato e a força de atrito resultante e verifique o torque por F_T\cdot r.
  • Área de contato: A = r\,\theta\,b = 0{,}120\times 1{,}3962634\times 0{,}030 \approx 0{,}0050265\\ \text{m}^{2}.
  • Força normal resultante: F_N = p\,A = 1{,}0\times10^{6}\times 0{,}0050265 \approx 5026{,}5\\ \text{N}.
  • Força de atrito resultante: F_T = \mu\,F_N = 0{,}32\times 5026{,}5 \approx 1608{,}5\\ \text{N}.
  • Torque por F_T\cdot r: M = F_T\cdot r \approx 1608{,}5\times 0{,}120 \approx 193{,}02\\ \text{N}\cdot\text{m},que coincide (pequenas diferenças de arredondamento) com o resultado anterior. Boa sinal — convergência dos métodos!

Resposta

M\approx 193\\ \text{N}\cdot\text{m}

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