Uma casa esférica não-condutora de raio interno a e externo b, possui uma densidade volumétrica de cargas não-uniforme dada por ρ=C/r. Determine, em função de a, b, C, ε0 e naturalmente r, o módulo do campo elétrico em a.

Passo 1

Beleza, temos uma casca esférica não-condutora com raio interno e externo , e a densidade de carga varia de forma não-uniforme:
.
O objetivo é achar o módulo do campo elétrico para a região .
Matéria envolvida: Lei de Gauss em eletrostática.
O que vamos precisar:
• Entender a Lei de Gauss, que mostra como relacionar campo elétrico e carga envolvida.
• Calcular a carga total “dentro” de uma esfera de raio , ou seja,
.
• Aplicar tudo isso pra isolar .

Passo 2

Lei de Gauss (em forma integral) diz:
oint S E cdot d A ;=;Qrm intvarepsilon0
Como o problema é esférico, escolhemos uma superfície gaussiana esfera de raio E(r),4pi r^2 ;=;Qrm intvarepsilon0 . A simetria garante que é radial e de módulo constante na superfície, então

Passo 3

Agora, a carga contida entre Qrm int ;=;integralVa^Vr rho(r'),dV' ;=;integrala^r Cr',(4pi r'^2,dr') e Qrm int =4pi Cintegrala^r r',dr' =4pi C[r'^22]a^r =2pi C,(r^2-a^2) é
Dentro do integral: , então

Passo 4

Com E(r),4pi r^2 =2pi C,(r^2-a^2)varepsilon0 Longrightarrow E(r) =2pi C,(r^2-a^2)4pi varepsilon0,r^2 =C2varepsilon0,l(1-a^2r^2r) , a Lei de Gauss vira
O campo é radial e aponta pra fora se .

Resposta

boxedE(r)=C2varepsilon0,l(1-a^2r^2r), a

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