Uma casa esférica não-condutora de raio interno a e externo b, possui uma densidade volumétrica de cargas não-uniforme dada por ρ=C/r. Determine, em função de a, b, C, ε0 e naturalmente r, o módulo do campo elétrico em r>b.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: temos uma casca esférica não-condutora, raio interno ρ(r') = Cr' e externo , com densidade de carga volumétrica não-uniforme
O que a gente quer é o módulo do campo elétrico num ponto fora da casca, ou seja, em .
Conteúdo da matéria: eletrostática – especificamente Lei de Gauss e simetria esférica. Para resolver, vamos precisar saber que, se a distribuição de carga tem simetria esférica, o campo para age como se toda carga estivesse concentrada no centro, e a gente calcula essa carga total integrando no volume.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio ointesfera Ecdot dA ;=; Qintvarepsilon0 (com E(r),l(4pi r^2r) ;=; Qintvarepsilon0 ). Pela simetria, o campo elétrico tem módulo constante sobre essa esfera e aponta radialmente. A Lei de Gauss diz:
Como é radial e também, o produto escalar vira , e a integral na superfície é

Passo 3

Agora precisamos de Qint =integralV ρ,dV =integralr'=a^b Cr' ,4pi,r'^2,dr' =4pi C integrala^b r',dr' , ou seja, toda a carga entre integrala^b r',dr' ;=;[r'^22]a^b =b^2-a^22 e Qint =4pi C ,b^2-a^22 =2pi C,(b^2 - a^2) . A densidade é e o elemento de volume em coordenadas esféricas é . Logo:
Fazendo a integral de :
Então

Passo 4

Volta na Lei de Gauss:
E(r),4pi r^2 ;=;2pi C,(b^2 - a^2)varepsilon0 longrightarrow E(r) =2pi C,(b^2 - a^2)4pivarepsilon0,r^2 =C,(b^2 - a^2)2varepsilon0,r^2

Resposta

boxedE(r) ;=;C,(b^2 - a^2)2,varepsilon0,r^2, r>b

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