Uma casa esférica não-condutora de raio interno
e externo
, possui uma densidade volumétrica de cargas não-uniforme dada por
. Determine, em função de
e naturalmente
, o módulo do campo elétrico em
.
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: temos uma casca esférica não-condutora, raio interno
e externo
, com densidade de carga volumétrica não-uniforme
O que a gente quer é o módulo do campo elétrico
num ponto fora da casca, ou seja, em
.
Conteúdo da matéria: eletrostática – especificamente Lei de Gauss e simetria esférica. Para resolver, vamos precisar saber que, se a distribuição de carga tem simetria esférica, o campo para age como se toda carga estivesse concentrada no centro, e a gente calcula essa carga total integrando
no volume.
Conteúdo da matéria: eletrostática – especificamente Lei de Gauss e simetria esférica. Para resolver, vamos precisar saber que, se a distribuição de carga tem simetria esférica, o campo para
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
(com
). Pela simetria, o campo elétrico tem módulo constante sobre essa esfera e aponta radialmente. A Lei de Gauss diz:
Como
é radial e
também, o produto escalar vira
, e a integral na superfície é
Passo 3
Agora precisamos de
, ou seja, toda a carga entre
e
. A densidade é
e o elemento de volume em coordenadas esféricas é
. Logo:
Fazendo a integral de
:
Então
Passo 4
Volta na Lei de Gauss: