Uma casa esférica não-condutora de raio interno e externo , possui uma densidade volumétrica de cargas não-uniforme dada por . Determine, em função de e naturalmente r, o módulo do campo elétrico em (a) e (b) .
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado diz: a gente tem uma casquinha esférica de raio interno e externo , feita de material não condutor, cuja densidade de carga varia com a distância do centro segundo .
O que precisamos tirar daí são duas coisas:
(a) o campo elétrico em qualquer ponto entre e (ou seja, );
(b) o campo elétrico fora da casca, para .
O conteúdo principal que vamos usar é a Lei de Gauss, que diz que
onde é a carga total “presa” dentro da superfície fechada . Como o problema é esférico e a densidade só depende de , o campo também será radial e constante em cada gaussiana esférica de raio . Então nosso plano é:
escolher uma superfície esférica de raio ,
calcular a carga contida nela integrando ,
usar Gauss pra achar .
Passo 2
Vamos primeiro tratar o caso .
Superfície gaussiana: esfera de raio .
Gauss diz
Agora, E(r),4pi r^2 = 2pi C,(r^2 - a^2)varepsilon0 Longrightarrow E(r) = 2pi C,(r^2 - a^2)4pivarepsilon0,r^2 = C,(r^2 - a^2)2varepsilon0,r^2 é a carga entre até . A gente escreveIntegrando:
Substituindo em Gauss:
Passo 3
Agora o caso Qrm tot = 4pi Cintegrala^b r',dr' = 2pi C,l(b^2 - a^2r) .
Superfície gaussiana: esfera de raio E(r),4pi r^2 = Qrm totvarepsilon0 = 2pi C,(b^2 - a^2)varepsilon0 Longrightarrow E(r) = 2pi C,(b^2 - a^2)4pivarepsilon0,r^2 = C,(b^2 - a^2)2varepsilon0,r^2 (agora maior que ).
A carga total fica entre e :
Pela Lei de Gauss:
Resposta
(a) Para boxedE(r) = C,(r^2 - a^2)2,varepsilon0,r^2 :