Uma casa esférica não-condutora de raio interno a e externo b, possui uma densidade volumétrica de cargas não-uniforme dada por rho=C / r. Determine, em função de a, b, C, varepsilon0 e naturalmente r, o módulo do campo elétrico em (a) a < r < b e (b) r > b.

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado diz: a gente tem uma casquinha esférica de raio interno oint S Ecdot d A ;=;Qrm intvarepsilon0, e externo , feita de material não condutor, cuja densidade de carga varia com a distância do centro segundo .
O que precisamos tirar daí são duas coisas:
(a) o campo elétrico em qualquer ponto entre e (ou seja, );
(b) o campo elétrico fora da casca, para .
O conteúdo principal que vamos usar é a Lei de Gauss, que diz que
onde é a carga total “presa” dentro da superfície fechada . Como o problema é esférico e a densidade só depende de , o campo também será radial e constante em cada gaussiana esférica de raio . Então nosso plano é:
  1. escolher uma superfície esférica de raio ,
  2. calcular a carga contida nela integrando ,
  3. usar Gauss pra achar .

Passo 2

Vamos primeiro tratar o caso oint E,dA = E(r),underbrace4pi r^2área da esfera = Qrm intvarepsilon0 .
  1. Superfície gaussiana: esfera de raio Qrm int = integralcasca rho(r'),dV = integralr'=a^rCr'l(4pi r'^2,dr'r) = 4pi Cintegrala^r r',dr' .
  2. Gauss diz 4pi Cintegrala^r r',dr' = 4pi Cl[tfracr'^22r]a^r = 4pi C;r^2 - a^22 = 2pi Cl(r^2 - a^2r) á
  3. Agora, E(r),4pi r^2 = 2pi C,(r^2 - a^2)varepsilon0 Longrightarrow E(r) = 2pi C,(r^2 - a^2)4pivarepsilon0,r^2 = C,(r^2 - a^2)2varepsilon0,r^2 é a carga entre até . A gente escreve Integrando:
  4. Substituindo em Gauss:

Passo 3

Agora o caso Qrm tot = 4pi Cintegrala^b r',dr' = 2pi C,l(b^2 - a^2r) .
  1. Superfície gaussiana: esfera de raio E(r),4pi r^2 = Qrm totvarepsilon0 = 2pi C,(b^2 - a^2)varepsilon0 Longrightarrow E(r) = 2pi C,(b^2 - a^2)4pivarepsilon0,r^2 = C,(b^2 - a^2)2varepsilon0,r^2 (agora maior que ).
  2. A carga total fica entre e :
  3. Pela Lei de Gauss:

Resposta

(a) Para boxedE(r) = C,(r^2 - a^2)2,varepsilon0,r^2 :
boxedE(r) = C,(b^2 - a^2)2,varepsilon0,r^2
(b) Para :

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