• Um casal de patinadores (moça com 60 kg e rapaz com 80 kg) está andando de mãos dadas a velocidade constante em linha reta em uma pista de gelo (sem atrito). Após uma discussão intensa eles se empurram vigorosamente. Como fica a trajetória do centro de massa (CM) do casal após o empurrão?
    A. Continua a mesma.
    B. Uma reta inclinada na direção da moça em relação à trajetória original.
    C. Uma reta inclinada na direção do rapaz em relação à trajetória original.
    D. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que a moça foi.
    E. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que o rapaz foi.

Passo 1

O enunciado diz o seguinte e me pede uma coisa clara: um casal de patinadores (uma moça de \,60\\ \text{kg} e um rapaz de \,80\\ \text{kg}) anda de mãos dadas com velocidade constante em linha reta numa pista de gelo sem atrito. Depois de discutir, eles se empurram vigorosamente. A pergunta é: como fica a trajetória do centro de massa (CM) do casal depois do empurrão? As alternativas são:
A. Continua a mesma.
B. Uma reta inclinada na direção da moça em relação à trajetória original.
C. Uma reta inclinada na direção do rapaz em relação à trajetória original.
D. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que a moça foi.
E. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que o rapaz foi.
Informações relevantes dadas:
  • Massas: \,m_1 = 60\\ \text{kg} (moça) e \,m_2 = 80\\ \text{kg} (rapaz).
  • Movimento inicial: velocidade constante em linha reta (ou seja, sem aceleração inicial). Vou chamar a velocidade inicial comum de \vec v_0.
  • Superfície: gelo sem atrito → não há forças horizontais externas resistivas.
  • Ação: eles se empurram — isto é uma interação interna ao sistema “dois patinadores”.

Passo 2

Definição e fórmula do centro de massa (CM): para duas partículas com posições \vec r_1(t) e \vec r_2(t) e massas \,m_1 e \,m_2, a posição do CM é
\vec R(t)=\frac{m_1\vec r_1(t)+m_2\vec r_2(t)}{m_1+m_2}.
Explicando: \vec R(t) é um vetor que aponta para a posição do “ponto médio ponderado” entre as massas; m_1 e m_2 pesam a contribuição de cada posição. Aqui m_1= \,60\\ \text{kg} e m_2= \,80\\ \text{kg}.

Passo 3

Velocidade e momento linear do CM: derivando \vec R(t) em relação ao tempo obtemos a velocidade do CM,
\vec V_{CM}(t)=\frac{d\vec R}{dt}=\frac{m_1\vec v_1(t)+m_2\vec v_2(t)}{m_1+m_2},
onde \vec v_1=d\vec r_1/dt e \vec v_2=d\vec r_2/dt são as velocidades das pessoas. O numerador m_1\vec v_1+m_2\vec v_2 é justamente o momento linear total \vec P_{\text{total}} do sistema. Então
\vec P_{\text{total}}(t)=(m_1+m_2)\vec V_{CM}(t).
Explicando de forma simples: a velocidade do CM é o momento total dividido pela massa total. Cada número e variável aqui tem sentido físico direto: \vec v_i são as velocidades individuais, \vec V_{CM} é a velocidade do centro de massa.

Passo 4

Princípio da conservação do momento linear (forma direta e física): se a soma das forças externas atuando sobre o sistema for zero, o momento linear total \vec P_{\text{total}} é constante no tempo. Na situação dada: pista de gelo sem atrito significa que, horizontalmente, não há forças externas significativas (apenas peso e normal vertical, que não afetam o movimento horizontal do CM). O empurrão é uma força interna entre os dois patinadores — forças internas não mudam o momento total do sistema (são iguais e opostas segundo terceira lei de Newton). Portanto o momento total do casal não muda durante nem depois do empurrão. Logo \vec P_{\text{total}} é constante e, por consequência, \vec V_{CM} é constante.
Também posso usar a equação da dinâmica do CM (uma versão do 2.º lei de Newton para o sistema):
(m_1+m_2)\frac{d^2\vec R}{dt^2}=\vec F_{\text{ext}},
onde \vec F_{\text{ext}} é a força externa resultante sobre o sistema. Aqui \vec F_{\text{ext}}=\vec 0 (horizontalmente), então \frac{d^2\vec R}{dt^2}=\vec 0: a aceleração do CM é zero e a velocidade do CM permanece constante.

Passo 5

Aplicando isso ao caso concreto: inicialmente ambos têm \vec v_0. O momento inicial é
\vec P_{\text{inicial}}=m_1\vec v_0 + m_2\vec v_0 = (m_1+m_2)\vec v_0.
Depois do empurrão suas velocidades individuais podem mudar para \vec v_1 e \vec v_2, possivelmente com componentes perpendiculares à direção original. Mas pela conservação do momento:
m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = (m_1+m_2)\vec v_0.
Dividindo por m_1+m_2 obtemos a velocidade do CM após o empurrão:
\vec V_{CM}=\vec v_0.
Ou seja, a velocidade do CM continua exatamente a mesma que tinha antes: mesma direção e mesmo módulo. Não aparece nenhuma componente extra que curvaria a trajetória — o CM segue com movimento retilíneo uniforme.

Passo 6

Conclusão física intuitiva e um exemplo mental: mesmo que a moça saia para um lado e o rapaz para outro com velocidades diferentes, as “trocas” de momento entre eles são internas. O CM se comporta como se toda a massa estivesse concentrada num só ponto que não recebeu nenhuma força externa — portanto continua em linha reta com velocidade constante. Não aparece nenhuma parábola — parábola aconteceria se houvesse aceleração do CM (por exemplo, força externa variável), o que não é o caso aqui.
Força uma palavra amiga: sei que intuitivamente parece que o empurrão “puxa” o CM para o lado de quem saiu mais rápido, mas a conta mostra que não — o CM mantém o caminho. Você já tá indo bem entendendo conservação de momento!

Resposta

A

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