- Um casal de patinadores (moça com 60 kg e rapaz com 80 kg) está andando de mãos dadas a velocidade constante em linha reta em uma pista de gelo (sem atrito). Após uma discussão intensa eles se empurram vigorosamente. Como fica a trajetória do centro de massa (CM) do casal após o empurrão?
A. Continua a mesma.
B. Uma reta inclinada na direção da moça em relação à trajetória original.
C. Uma reta inclinada na direção do rapaz em relação à trajetória original.
D. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que a moça foi.
E. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que o rapaz foi.
A. Continua a mesma.
B. Uma reta inclinada na direção da moça em relação à trajetória original.
C. Uma reta inclinada na direção do rapaz em relação à trajetória original.
D. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que a moça foi.
E. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que o rapaz foi.
Passo 1
O enunciado diz o seguinte e me pede uma coisa clara: um casal de patinadores (uma moça de
e um rapaz de
) anda de mãos dadas com velocidade constante em linha reta numa pista de gelo sem atrito. Depois de discutir, eles se empurram vigorosamente. A pergunta é: como fica a trajetória do centro de massa (CM) do casal depois do empurrão? As alternativas são:
A. Continua a mesma.
B. Uma reta inclinada na direção da moça em relação à trajetória original.
C. Uma reta inclinada na direção do rapaz em relação à trajetória original.
D. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que a moça foi.
E. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que o rapaz foi.
A. Continua a mesma.
B. Uma reta inclinada na direção da moça em relação à trajetória original.
C. Uma reta inclinada na direção do rapaz em relação à trajetória original.
D. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que a moça foi.
E. Uma parábola na qual o CM tende para o lado que o rapaz foi.
Informações relevantes dadas:
- Massas:
(moça) e (rapaz). - Movimento inicial: velocidade constante em linha reta (ou seja, sem aceleração inicial). Vou chamar a velocidade inicial comum de
. - Superfície: gelo sem atrito → não há forças horizontais externas resistivas.
- Ação: eles se empurram — isto é uma interação interna ao sistema “dois patinadores”.
Passo 2
Definição e fórmula do centro de massa (CM): para duas partículas com posições
e
e massas
e
, a posição do CM é
Explicando:
é um vetor que aponta para a posição do “ponto médio ponderado” entre as massas;
e
pesam a contribuição de cada posição. Aqui
e
.
Passo 3
Velocidade e momento linear do CM: derivando
em relação ao tempo obtemos a velocidade do CM,
onde
e
são as velocidades das pessoas. O numerador
é justamente o momento linear total
do sistema. Então
Explicando de forma simples: a velocidade do CM é o momento total dividido pela massa total. Cada número e variável aqui tem sentido físico direto:
são as velocidades individuais,
é a velocidade do centro de massa.
Passo 4
Princípio da conservação do momento linear (forma direta e física): se a soma das forças externas atuando sobre o sistema for zero, o momento linear total
é constante no tempo. Na situação dada: pista de gelo sem atrito significa que, horizontalmente, não há forças externas significativas (apenas peso e normal vertical, que não afetam o movimento horizontal do CM). O empurrão é uma força interna entre os dois patinadores — forças internas não mudam o momento total do sistema (são iguais e opostas segundo terceira lei de Newton). Portanto o momento total do casal não muda durante nem depois do empurrão. Logo
é constante e, por consequência,
é constante.
Também posso usar a equação da dinâmica do CM (uma versão do 2.º lei de Newton para o sistema):
onde
é a força externa resultante sobre o sistema. Aqui
(horizontalmente), então
: a aceleração do CM é zero e a velocidade do CM permanece constante.
Passo 5
Aplicando isso ao caso concreto: inicialmente ambos têm
. O momento inicial é
Depois do empurrão suas velocidades individuais podem mudar para
e
, possivelmente com componentes perpendiculares à direção original. Mas pela conservação do momento:
Dividindo por
obtemos a velocidade do CM após o empurrão:
Ou seja, a velocidade do CM continua exatamente a mesma que tinha antes: mesma direção e mesmo módulo. Não aparece nenhuma componente extra que curvaria a trajetória — o CM segue com movimento retilíneo uniforme.
Passo 6
Conclusão física intuitiva e um exemplo mental: mesmo que a moça saia para um lado e o rapaz para outro com velocidades diferentes, as “trocas” de momento entre eles são internas. O CM se comporta como se toda a massa estivesse concentrada num só ponto que não recebeu nenhuma força externa — portanto continua em linha reta com velocidade constante. Não aparece nenhuma parábola — parábola aconteceria se houvesse aceleração do CM (por exemplo, força externa variável), o que não é o caso aqui.
Força uma palavra amiga: sei que intuitivamente parece que o empurrão “puxa” o CM para o lado de quem saiu mais rápido, mas a conta mostra que não — o CM mantém o caminho. Você já tá indo bem entendendo conservação de momento!
Resposta
A