Uma casca esférica condutora de raio interno a e raio externo b possui uma carga líquida de -Q. No centro da cavidade, há uma carga pontual +2 Q. Use a Lei de Gauss para encontrar a expressão do campo elétrico nas regiões (a) r<a, (b) a<r<b e (c) r>b.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica condutora com raio interno a e externo b que carrega carga líquida -Q. No centro da cavidade há uma carga pontual +2Q. O objetivo é usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico E(r) nas três regiões: (a) r<a, (b) a<r<b e (c) r>b.

Passo 2

Para r<a, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r dentro da cavidade. A única carga interna é a pontual +2Q. Pela Lei de Gauss:
\oint_S \vec E\cdot d\vec S = E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0} = \frac{2Q}{\varepsilon_0}\,.
Logo,
E(r)=\frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\hat r\quad(\text{para }r<a).

Passo 3

Para a<r<b, a superfície gaussiana percorre o metal da casca. Em equilíbrio eletrostático, o campo no interior de um condutor é zero. Alternativamente, nota-se que dentro dessa superfície estão +2Q (carga pontual) e -2Q (carga induzida na face interna), resultando em carga líquida nula. Assim,
E(r)=0\quad(\text{para }a<r<b).

Passo 4

Para r>b, a superfície gaussiana envolve a carga pontual e toda a casca. A carga total interna é
+2Q +(-Q)=+Q.
Pela Lei de Gauss,
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\hat r\quad(\text{para }r>b).

Resposta

(a) E(r)=\displaystyle \frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\hat r para r<a.
(b) E(r)=0 para a<r<b.
(c) E(r)=\displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\hat r para r>b.

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