Duas cargas pontuais, q_{1}=+4.0 n C e q_{2}=-1.0 n C, estão separadas por uma distância de 10 cm . Encontre um ponto sobre a linha que une as duas cargas onde o potencial elétrico é nulo.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais sobre a mesma reta:
q_{1}=+4{,}0\\ \mathrm{nC} e q_{2}=-1{,}0\\ \mathrm{nC}, separadas por d=10\\ \mathrm{cm}.
Pede o ponto ao longo dessa reta (estendida) onde o potencial elétrico total V=0.
Conteúdo: superposição de potenciais de cargas pontuais, usando
V(\mathbf r)=k\frac{q_{1}}{r_{1}}+k\frac{q_{2}}{r_{2}},
e resolvendo V=0.

Passo 2

Para simplificar, colocamos q_{1} na posição x=0 e q_{2} em x=d=0{,}10\\ \mathrm{m}.
Se o ponto onde V=0 estiver em x, então
r_{1}=|x-0|=x,\quad r_{2}=|x-d|=|x-0{,}10|.

Passo 3

Escrevemos a condição V=0:
k\frac{q_{1}}{r_{1}}+k\frac{q_{2}}{r_{2}}=0
como k\neq0, basta
\frac{q_{1}}{r_{1}}+\frac{q_{2}}{r_{2}}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{4{,}0}{r_{1}}+\frac{-1{,}0}{r_{2}}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{4}{r_{1}}=\frac{1}{r_{2}}.

Passo 4

Dependendo da região, r_{2}=x-d (se x>d) ou r_{2}=d-x (se 0<x<d).
  1. Região entre as cargas ( 0<x<d): r_{1}=x,\;r_{2}=d-x. \frac{4}{x}=\frac{1}{d-x} \;\Longrightarrow\; 4(d-x)=x \;\Longrightarrow\; 4d-4x=x \;\Longrightarrow\; 5x=4d \;\Longrightarrow\; x=\frac{4d}{5}=0{,}08\\ \mathrm{m}.
  2. Região à direita de q_{2} ( x>d): r_{1}=x,\;r_{2}=x-d. \frac{4}{x}=\frac{1}{x-d} \;\Longrightarrow\; 4(x-d)=x \;\Longrightarrow\; 4x-4d=x \;\Longrightarrow\; 3x=4d \;\Longrightarrow\; x=\frac{4d}{3}\approx0{,}1333\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Entre as cargas o potencial muda de +\infty (em x\to0^+) para -\infty (em x\to d^-), garantindo um único zero em x=0{,}08\\ \mathrm{m}.
A outra solução em x\approx0{,}133\\ \mathrm{m} também zera V mas fica fora do segmento, e normalmente só consideramos o ponto entre as cargas.

Resposta

O potencial é nulo a 8{,}0\\ \mathrm{cm} de q_{1} (ou seja, a 2{,}0\\ \mathrm{cm} de q_{2}), no interior do segmento que une as duas cargas.

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