Uma linha de carga infinita possui densidade linear de carga \lambda=+2.5 \mu \frac{C}{m}. Calcule a diferença de potencial V_{B}-V_{A}, onde A está a 20 cm da linha e B está a 50 cm da linha.

Passo 1

O enunciado fala de uma linha de carga infinita com densidade linear de carga \lambda=+2,5\times10^{-6}\,\mathrm{C/m}. Precisamos calcular a diferença de potencial elétrico
V_{B}-V_{A}
entre dois pontos distantes da linha: A a r_{A}=0,2\,\mathrm{m} e B a r_{B}=0,5\,\mathrm{m}. O conteúdo aqui é a relação entre campo elétrico de uma linha infinita e potencial, usando
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\,r}
e
V(r_{2})-V(r_{1})=-\int_{r_{1}}^{r_{2}}E(r)\,\mathrm{d}r.

Passo 2

Primeiro escrevemos o módulo do campo elétrico de uma linha infinita, que é radial e vale
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\,r}.
Ele aponta para fora da linha (já que \lambda>0) e depende de 1/r.

Passo 3

A diferença de potencial entre A e B é
V_{B}-V_{A} =-\int_{r_{A}}^{r_{B}}E(r)\,\mathrm{d}r =-\int_{r_{A}}^{r_{B}}\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\,r}\,\mathrm{d}r.

Passo 4

Fazendo a integral de 1/r obtemos
V_{B}-V_{A} =-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}} \int_{r_{A}}^{r_{B}}\frac{1}{r}\,\mathrm{d}r =-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}} \Bigl[\ln(r)\Bigr]_{r_{A}}^{r_{B}} =-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{B}}{r_{A}}\bigr).

Passo 5

Substituindo \lambda=2,5\times10^{-6}\,\mathrm{C/m}, \epsilon_{0}=8,854\times10^{-12}\,\mathrm{C^{2}/(N\,m^{2})}, r_{A}=0,2\,\mathrm{m} e r_{B}=0,5\,\mathrm{m}:
\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}} \approx\frac{2,5\times10^{-6}}{2\pi\times8,854\times10^{-12}} \approx4,49\times10^{4}\,\mathrm{V}.
Então
V_{B}-V_{A} \approx-4,49\times10^{4}\ln\!\bigl(\tfrac{0,5}{0,2}\bigr) =-4,49\times10^{4}\ln(2,5) \approx-4,11\times10^{4}\,\mathrm{V}.

Resposta

V_{B}-V_{A}\approx-4,11\times10^{4}\,\mathrm{V}.

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