No caso do estudo da condução unidimensional de calor em paredes planas em regime estacionário e sem geração de energia observou-se que o fluxo de calor que atravessa o material é constante. Pode-se afirmar que o fluxo de calor também é constante para o caso da condução de calor radial em um cilindro maciço, sem geração de energia, cuja temperatura do centro é maior que a temperatura da superfície externa? Por quê?

Passo 1

O enunciado compara dois casos de condução de calor em regime estacionário e sem geração de calor: primeiro, a parede plana unidimensional, em que o fluxo de calor total \dot Q é constante ao longo da espessura; segundo, um cilindro maciço submetido a condução radial, com temperatura do centro maior que a da superfície externa. Para decidir se o fluxo de calor total \dot Q permanece o mesmo em todas as seções circulares, vamos usar:
  1. Balanço de energia em regime estacionário sem geração ( \nabla\cdot\mathbf{q}=0).
  2. Lei de Fourier em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em regime estacionário e sem geração de calor, a equação geral do balanço de energia é
\nabla\cdot\mathbf{q}=0
onde \mathbf{q} é o vetor fluxo de calor. Em coordenadas cilíndricas (apenas componente radial q_r\neq0) a divergência fica
\frac{1}{r}\,\frac{d}{dr}\bigl(r\,q_r\bigr)=0.
Integrando em r, obtém-se
r\,q_r = C,
com C constante.

Passo 3

A Lei de Fourier na direção radial vale
q_r = -\,k\,\frac{dT}{dr},
e o fluxo de calor total que atravessa a seção de raio r e comprimento unitário L é
\dot Q = q_r \cdot A(r) \quad\text{com}\quad A(r)=2\pi\,r\,L.
Como r\,q_r=C, temos
\dot Q = (r\,q_r)\,2\pi\,L = 2\pi\,L\,C = \text{constante}.

Passo 4

Conclusão:
  • O fluxo total de calor \dot Q é constante em qualquer raio, pois \nabla\cdot\mathbf{q}=0 leva a r\,q_r= constante e, consequentemente, \dot Q independe de r.
  • Por outro lado, o fluxo por unidade de área q_r varia como
q_r = \frac{C}{r}\;\propto\;\frac{1}{r},
decrescendo com o aumento de r, já que a área A(r) cresce com r.

Resposta

Sim. O fluxo total de calor \dot Q atravessando as seções cilíndricas é constante porque, em regime estacionário sem geração, a condição \nabla\cdot\mathbf{q}=0 em coordenadas cilíndricas impõe r\,q_r= constante, e assim \dot Q=q_r\,A(r)=2\pi L\,(r\,q_r) independe de r. Entretanto, o fluxo por área q_r varia como 1/r devido à mudança de área das seções.

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