No caso de um filme fino, se a luz refletida apresenta interferência totalmente destrutiva para um dado comprimento de onda, o que a luz transmitida (no ar, após passar pelo filme) apresenta para o mesmo comprimento de onda e espessura?

Passo 1

O que o enunciado pede: dado que, para um certo comprimento de onda \lambda e certa espessura d de um filme fino, a luz refletida apresenta interferência totalmente destrutiva (ou seja, as contribuições refletidas se cancelam), informar o que a luz transmitida (após atravessar o filme e sair no ar) apresenta para o mesmo \lambda e d.
Informações relevantes dadas (e suposições que vou usar):
  • Há interferência totalmente destrutiva na luz refletida para esse \lambda e d.
  • O filme é fino e transparente (ou seja, sem absorção significativa). Vou assumir que o filme não absorve energia, porque sem essa hipótese não dá para relacionar diretamente reflexão zero com transmissão máxima.
  • Considero incidência próxima à normal para simplificar a explicação (o raciocínio geral vale também para ângulos pequenos com a mesma lógica de diferença de caminho óptico).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados simples):
  • Interferência entre duas ondas: duas ondas com amplitudes próximas se somam; o resultado depende da diferença de fase \Delta\varphi entre elas. Se \Delta\varphi=(2m+1)\pi (m inteiro) há destruição (soma zero, se amplitudes iguais). Se \Delta\varphi=2m\pi há soma construtiva máxima.
  • Diferença de fase causada por caminho óptico: um percurso extra de comprimento óptico \text{OPD} introduz uma diferença de fase
\Delta\varphi = 2\pi\frac{\text{OPD}}{\lambda}.
  • Reflexões em interfaces podem também introduzir uma mudança de fase de \pi (180°) quando a onda reflete indo de um meio menos refringente para um meio mais refringente (por exemplo, ar \to filme com índice n>1). Reflexões do meio mais para o menos refringente não introduzem essa mudança de \pi.

Passo 3

Aplicando ao filme fino (dois raios refletidos principais):
  • O primeiro raio refletido vem da face fronta (ar→filme) e sofre uma mudança de fase de \pi por refletir num meio de índice maior.
  • O segundo raio refletido vem de trás (filme→ar) e não sofre essa mudança de \pi, mas percorre ida e volta dentro do filme, somando um caminho óptico extra 2 n d (onde n é o índice do filme).
  • Portanto a diferença de fase entre os dois raios refletidos é
\Delta\phi_{\text{ref}}=\pi + 2\pi\frac{2 n d}{\lambda}=\pi+\frac{4\pi n d}{\lambda}.
  • A condição de interferência totalmente destrutiva para a reflexão é
\Delta\phi_{\text{ref}}=(2m+1)\pi,
o que, substituindo, dá
\pi+\frac{4\pi n d}{\lambda}=(2m+1)\pi.
Subtraindo \pi em ambos os lados,
\frac{4\pi n d}{\lambda}=2m\pi \quad\Rightarrow\quad 2 n d = m\lambda,
com m inteiro. Ou seja: quando 2 n d é um múltiplo inteiro de \lambda, as duas reflexões se cancelam (para este caso de índice do filme maior que o do ar).

Passo 4

Agora os raios transmitidos:
  • Também existem duas contribuições principais para a luz transmitida para o ar do outro lado: (i) o raio que passa direto pelo filme (transmitido sem reflexões internas) e (ii) o raio que reflete internamente na face traseira e sai depois (ou seja, que percorre o trajeto extra dentro do filme).
  • Essas duas contribuições têm diferença de fase provocada pelo mesmo caminho óptico extra 2 n d, mas, ao contrário dos raios refletidos, a transmissão não adiciona a mudança de fase fixa \pi que ocorreu na reflexão na face frontal. Assim, a diferença de fase entre as duas contribuições transmitidas é apenas
\Delta\phi_{\text{trans}}=2\pi\frac{2 n d}{\lambda}=\frac{4\pi n d}{\lambda}.
  • Compare agora com a condição obtida no passo anterior: quando a reflexão é totalmente destrutiva nós temos 2 n d = m\lambda. Substituindo nessa expressão para a transmissão:
\Delta\phi_{\text{trans}}=\frac{4\pi n d}{\lambda}=\frac{4\pi}{\lambda}\cdot\frac{m\lambda}{2}=2m\pi.
Ou seja, as contribuições transmitidas estão em fase (diferença \Delta\phi_{\text{trans}}=2m\pi), portanto interferem construtivamente.

Passo 5

Interpretação física e conservação de energia (conclusão robusta):
  • Para um filme sem perdas, a energia incidente se distribui entre refletida R e transmitida T de modo que R+T=1.
  • Se a interferência torna a reflexão totalmente destrutiva para aquele \lambda e d, isso significa R=0. Pela conservação de energia segue T=1: máxima transmissão.
  • Portanto, a condição que cancela a reflexão corresponde à condição em que a transmissão é máxima (interferência construtiva na luz transmitida).

Passo 6

Resposta intuitiva curta e como usar isso na prova:
  • Sempre que vir “reflexão totalmente destrutiva” em filme fino (e o filme for não absorvente), peça-se para escrever a condição \,2 n d = m\lambda\,. A partir daí conclui-se que as componentes transmitidas têm \Delta\phi_{\text{trans}}=2m\pi e, portanto, somam em fase — transmissão máxima. Se precisar numericamente, use m=0,1,2,\dots.

Resposta

A luz transmitida apresenta interferência construtiva total (transmissão máxima; para um filme sem perdas, toda a intensidade incidente é transmitida).

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