CASO VERÍDICO: Faça uma análise crítica das seguintes frases, ou trechos de frases que seguem abaixo. Observe que, em cada uma delas, ou definições ou terminologias matemáticas foram usadas incorretamente: ou não foi corretamente expresso o que se gostaria de comunicar, ou há alguma incoerência lógica na construção da frase. A maioria das frases, matematicamente erradas, são reais e foram extraídas de livros publicados no país e adotados em escolas do Ensino Fundamental ou Médio. Faça uma análise crítica das frases abaixo. (Algumas das frases apareceram na RPM Revista do Professor de Matemática-, a partir do número 40, na Seção Pisando na Bola.)
(f) “Traçando uma reta e fazendo dois pontos sobre ela, verifica-se que podemos sempre colocar um ponto entre os dois e, repetindo o processo, sucessivamente, completamos com pontos a reta toda.”
Passo 1
O enunciado (a frase a ser analisada) afirma, em palavras: “Traçando uma reta e fazendo dois pontos sobre ela, verifica-se que podemos sempre colocar um ponto entre os dois e, repetindo o processo, sucessivamente, completamos com pontos a reta toda.”
O que a frase está dizendo, em partes bem claras:
Há uma reta e dois pontos distintos sobre ela (chamo-os de A e B).
Entre A e B é sempre possível colocar outro ponto C.
Repetindo “colocar um ponto entre dois pontos” sucessivamente, chegaríamos a ter pontos cobrindo toda a reta (ou seja, “completar a reta toda” com pontos obtidos dessa forma).
Passo 2
Vamos começar separando o que é verdade do que é falso na afirmação inicial. Primeiro, a parte “entre A e B é sempre possível colocar outro ponto” é CORRETA no sentido usual da reta real: se A e B correspondem a números a<b, então o ponto com coordenada \dfrac{a+b}{2} está estritamente entre a e b. Vou explicar essa operação e por que ela funciona.
Definição simples e operacional: dados a<b (dois números reais), o número
c=\frac{a+b}{2}
satisfaz a<c<b. Isso porque \frac{a+b}{2}-a=\frac{b-a}{2}>0 e b-\frac{a+b}{2}=\frac{b-a}{2}>0. Geometricamente, c é o ponto médio do segmento [a,b].
Portanto, a ação “colocar um ponto entre dois pontos” tem um procedimento claro: escolher o ponto médio.
Passo 3
Agora vamos modelar o processo “repetindo o procedimento sucessivamente” de forma precisa. Vou trabalhar no caso mais simples e padrão: identificar a reta com o intervalo [0,1] (isso não perde generalidade: qualquer segmento [a,b] é equivalente por afinidade). Começamos com os pontos 0 e 1.
Primeira iteração (entre 0 e 1): colocamos 1/2.
Segunda iteração: entre 0 e 1/2 colocamos 1/4; entre 1/2 e 1 colocamos 3/4.
Após n iterações dessa regra “colocar midpoints”, os pontos obtidos são exatamente os números da forma
\frac{k}{2^n},\qquad k=0,1,2,\dots,2^n.
Assim, se permitimos todas as iterações finitas (para todo n\in\mathbb{N}), o conjunto total de pontos construídos é
Esse conjunto D é conhecido como conjunto dos racionais dyádicos no intervalo [0,1].
Passo 4
Importante: analisar a natureza (cardinalidade e propriedades) do conjunto D.
Cada conjunto \{\tfrac{k}{2^n}:k=0,\dots,2^n\} é finito. A união contável de conjuntos finitos é um conjunto contável. Portanto D é um conjunto enumerável (contável). Em termos simples: apesar de infinitas iterações, obtemos apenas “infinitos do tipo enumerável” (mesma cardinalidade que \mathbb{N}).
Por outro lado, o segmento [0,1] contém aleatoriamente infinitos não enumeráveis; a reta (ou o intervalo [0,1]) tem cardinalidade do contínuo, estritamente maior que a de um conjunto contável. Uma consequência prática: existem muitos pontos em [0,1] que não pertencem a D. Um exemplo simples e explícito: 1/3 não pertence a D, porque um número da forma \tfrac{k}{2^n} tem denominador uma potência de 2 na forma reduzida, e 1/3 não admite tal forma.
Conclusão desta etapa: O processo descrito (colocar sucessivamente pontos médios) gera um conjunto denso, mas apenas contável; portanto não “preenche” o intervalo ponto a ponto — existem pontos da reta que nunca serão obtidos por esse procedimento.
Passo 5
Vamos explicar duas noções que confundem muita gente (por isso a frase ficou equivocada): densidade versus preenchimento completo.
Conjunto denso: um conjunto S\subset[0,1] é denso no intervalo se, entre quaisquer x<y em [0,1], existe um elemento de S entre x e y. O conjunto D (dyádicos) é denso em [0,1]: dado x<y, existe algum dyádico entre eles (basta escolher n grande e um k apropriado). Ser denso significa que os pontos do conjunto podem aproximar qualquer ponto do intervalo arbitrariamente bem.
Preenchimento completo (igualdade de conjuntos): afirmar que “completamos a reta toda” sugere que a união dos pontos obtidos é exatamente a reta (ou o segmento). Isso exigiria que cada ponto do segmento fosse obtido em alguma etapa; isto é falso: pontos como 1/3 ou \sqrt{2}/2 não aparecem em D.
Ponte entre as ideias: embora D seja denso, sua aderência (fecho topológico), que é o menor conjunto fechado que contém D, é exatamente [0,1]. Em símbolos:
\overline{D}=[0,1].
Isto significa que qualquer ponto de [0,1] é limite de uma sequência de pontos de D, mas isso não quer dizer que tenha sido gerado em um passo finito do processo.
Passo 6
Outro ponto conceitual: o que significa “repetindo o processo, sucessivamente”? Há ambiguidade e um deslize lógico.
Se se entende “repetir um número finito de vezes”, obviamente não se chega perto de preencher nada além dos pontos já obtidos.
Se se aceita “repetir um número infinito (contável) de vezes”, o resultado é o conjunto D descrito acima — infinito, enumerável, denso, porém não igual ao intervalo.
Se alguém quisesse “executar” um número não enumerável de passos (por exemplo, um passo para cada ponto real do intervalo), isso não é uma operação sequencial bem definida no sentido usual: não existe procedimento de realizar “contavelmente” mais do que contáveis muitas operações em sequência. Matemática formal trabalha com uniões/fechos e limites, não com uma ideia de executar físicamente passos não enumeráveis.
Passo 7
Vou dar um exemplo numérico simples para fixar a ideia (faça na prova se te pedirem um contra-exemplo): comece com 0 e 1.
Depois de 1 passo: \{0,\,\tfrac12,\,1\}.
Depois de 2 passos: \{0,\,\tfrac14,\,\tfrac12,\,\tfrac34,\,1\}.
Depois de 3 passos: adicionam-se \tfrac18,\tfrac38,\tfrac58,\tfrac78, e assim por diante.
Em qualquer etapa, 1/3 não aparece. Mesmo após todas as etapas enumeráveis, 1/3 não é um ponto construído. Mas há sequências de dyádicos que convergem para 1/3.
Passo 8
Correção rigorosa e sugestão de redação correta para a frase (como deveria aparecer em um bom livro didático):
Redação correta possível: “Traçando uma reta e escolhendo dois pontos distintos sobre ela, podemos sempre inserir um novo ponto entre esses dois; repetindo esse procedimento arbitrariamente muitas vezes obtemos um conjunto de pontos que é denso no segmento escolhido (isto é, entre quaisquer dois pontos do segmento há um ponto do conjunto). Contudo, essa construção produz apenas um conjunto enumerável de pontos; para obter todos os pontos do segmento é preciso considerar o fecho (aderência) desse conjunto — então sim, a aderência do conjunto obtido é todo o segmento, mas os próprios pontos obtidos pela construção não são todos os pontos do segmento.”
Passo 9
Resumo crítico final (o cerne do erro na frase):
O autor confundiu duas coisas distintas: (i) a existência de sempre um ponto entre dois pontos (verdade), (ii) a possibilidade de, por um procedimento iterativo, “gerar” todos os pontos da reta (falso, se o procedimento é executado só por etapas enumeráveis).
O procedimento de inserir pontos médios gera um conjunto denso porém enumerável (por exemplo, dyádicos). Densidade não implica igualdade ao segmento; apenas o fecho desse conjunto é o segmento.
Em linguagem amigável: é verdade que você consegue aproximar qualquer ponto da reta fazendo essas divisões sucessivas, mas você não consegue “escrever” exatamente todos os pontos da reta apenas com os pontos que apareceem em passos finitos ou mesmo numa sequência enumerável de passos — alguns pontos só aparecem como limites, não como pontos gerados em alguma etapa.
Resposta
A frase é incorreta. O processo de inserir sucessivamente pontos médios gera o conjunto