CASO VERÍDICO: Faça uma análise crítica das seguintes frases, ou trechos de frases que seguem abaixo. Observe que, em cada uma delas, ou definições ou terminologias matemáticas foram usadas incorretamente: ou não foi corretamente expresso o que se gostaria de comunicar, ou há alguma incoerência lógica na construção da frase. A maioria das frases, matematicamente erradas, são reais e foram extraídas de livros publicados no país e adotados em escolas do Ensino Fundamental ou Médio. Faça uma análise crítica das frases abaixo. (Algumas das frases apareceram na RPM Revista do Professor de Matemática-, a partir do número 40, na Seção Pisando na Bola.)
(g) “O centro C(x, y) da mediatriz de A B é…”

Passo 1

O que o enunciado pede: fazer uma análise crítica da frase
\text{"O centro }C(x,y)\text{ da mediatriz de }AB\text{ é...."}é
Informações relevantes dadas (retirei-as do enunciado e da figura):
  • Existem dois pontos marcados: A e B.
  • Os pontos A e B pertencem a um mesmo plano \alpha (a figura indica isso).
  • A frase refere-se à "mediatriz de AB" e nomeia um ponto C(x,y).

Passo 2

O que é corretamente a mediatriz de um segmento? (explicação didática, passo a passo)
  • Definição verbal: a mediatriz de um segmento AB é a reta (no mesmo plano que A e B) que é perpendicular ao segmento AB e passa pelo ponto médio de AB.
  • Propriedade prática importante: a mediatriz de AB é o conjunto (locus) de todos os pontos do plano que estão à mesma distância de A e de B. Em outras palavras, um ponto P está na mediatriz de AB se, e só se,
PA = PB.
  • Consequência: como a mediatriz é uma reta (infinita em ambas as direções), ela não tem “centro” no sentido de um único ponto que seja o centro da própria reta.
Observação intuitiva: imaginar uma régua infinita — não faz sentido falar em “centro” da régua; faz sentido falar no ponto médio de um pedaço finito (o segmento), mas a mediatriz é uma reta, não um pedaço finito.

Passo 3

Por que a expressão "o centro C(x,y) da mediatriz de AB" está errada ou ambígua?
  • Problema 1 — uso de “centro” para uma reta: chamar de “centro da mediatriz” atribui à mediatriz algo que ela não tem. A mediatriz é uma reta; retas não têm um “centro” distinguível. Logo essa expressão é conceitualmente incorreta.
  • Problema 2 — ambiguidade sobre o que C(x,y) representa: a notação C(x,y) indica um ponto com coordenadas (x,y). Não fica claro se C é:
    • o ponto médio do segmento AB (ou seja, o “centro” do segmento AB), ou
    • um ponto qualquer pertencente à mediatriz, ou
    • o “centro” de alguma circunferência associada (por exemplo, o centro da circunferência cuja mediatriz é algo relevante).
      A frase não especifica qual desses significados é o pretendido.
  • Problema 3 — falta de sistema de coordenadas: escrever C(x,y) pressupõe que se adotou um sistema de coordenadas no plano \alpha. Se as coordenadas de A e B não foram dadas ou se não foi indicado o referencial, mencionar C(x,y) sem contexto é impróprio.

Passo 4

Como escrever corretamente, dependendo do que se quis dizer — alternativas precisas e explicadas
  • Se a intenção era dizer que C é um ponto qualquer da mediatriz de AB, a forma correta é:
    • \text{"O ponto }C(x,y)\text{ pertence à mediatriz de }AB."à
      Essa frase diz que C é um ponto com coordenadas (x,y) e que esse ponto está sobre a reta mediatriz.
  • Se a intenção era dizer que C é o ponto médio (centro do segmento) de AB, o correto é:
    • \text{"O ponto médio }M\text{ de }AB\text{ é }M\!\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)."}
      Explicação: se A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) num referencial cartesiano do plano, então o ponto médio M tem coordenadas dadas pela fórmula média aritmética das coordenadas.
  • Se a intenção era falar do centro de uma circunferência cuja mediatriz tem relação com AB, então é preciso explicitar: por exemplo,
    • \text{"O centro }O\text{ da circunferência que tem }AB\text{ como corda pertence à mediatriz de }AB."}
      Aqui faz sentido falar em “centro”, porque o centro de uma circunferência é um ponto; e esse ponto fica sobre a mediatriz de qualquer corda.

Passo 5

Fórmulas úteis (mostradas passo a passo) para aplicar em prova — como usar coordenadas corretamente
  • Fórmula do ponto médio: suponha que num sistema cartesiano do plano \alpha valha A=(x_A,y_A),\qquad B=(x_B,y_B).Então o ponto médio M de AB é M=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right).Derivação rápida: média das coordenadas porque a posição média em cada direção é a média aritmética.
  • Equação da mediatriz (via condição de equidistância): um ponto P=(x,y) pertence à mediatriz de AB se (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2.Desenvolvendo e simplificando os quadrados os termos quadráticos em x^2 e y^2 se cancelam, e obtém-se uma equação linear da forma (x_B-x_A)x + (y_B-y_A)y = \frac{x_B^{2}-x_A^{2}+y_B^{2}-y_A^{2}}{2},que é precisamente a equação da reta mediatriz (forma linear, confirmando que é uma reta).
  • Relação com perpendicularidade: a mediatriz é perpendicular a AB. Se a reta AB tem coeficiente angular m (quando definido), a mediatriz terá coeficiente -1/m (o oposto do recíproco), e passa por o ponto médio M.

Passo 6

Exemplo numérico curto (para fixar a ideia)
  • Seja A=(1,2) e B=(5,4). O ponto médio é M=\left(\dfrac{1+5}{2},\dfrac{2+4}{2}\right)=\left(3,3\right).A mediatriz é a reta perpendicular a AB que passa por M(3,3). O vetor diretor de AB é (5-1,4-2)=(4,2), logo a mediatriz tem vetor normal proporcional a (4,2) e uma equação pode ser obtida por 4(x-3)+2(y-3)=0,ou simplificando 2x+y=9.Isto mostra concretamente que a mediatriz é uma reta e que o único “ponto central” natural aqui é o ponto médio M, não a reta inteira.

Passo 7

Síntese crítica e recomendação de redação
  • Erros na frase original:
    1. usar a palavra “centro” aplicada à mediatriz (uma reta) — retas não têm centro;
    2. empregar C(x,y) sem especificar se C é ponto médio, ponto qualquer da mediatriz, ou centro de alguma circunferência;
    3. usar coordenadas sem indicar sistema de referência ou sem relacionar com coordenadas de A e B.
  • Recomendações práticas para a prova/para a redação:
    • Seja explícito: diga se C é um ponto qualquer da mediatriz, ou o ponto médio do segmento, ou o centro de uma circunferência.
    • Se usar coordenadas (x,y), informe o referencial ou as coordenadas de A e B, e aplique as fórmulas mostradas.
    • Frases claras e corretas (algumas sugestões já dadas no Passo 4) evitam mal-entendidos.

Resposta

O trecho está incorreto: a mediatriz de AB é uma reta (o conjunto dos pontos equidistantes de A e B) e não tem “centro”. Formule corretamente, por exemplo, como uma destas alternativas:

O ponto C(x,y) pertence à mediatriz de AB.

ou

O ponto médio de AB é M\!\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right).

Exercícios relacionados