CASO VERÍDICO: Faça uma análise crítica das seguintes frases, ou trechos de frases que seguem abaixo. Observe que, em cada uma delas, ou definições ou terminologias matemáticas foram usadas incorretamente: ou não foi corretamente expresso o que se gostaria de comunicar, ou há alguma incoerência lógica na construção da frase. A maioria das frases, matematicamente erradas, são reais e foram extraídas de livros publicados no país e adotados em escolas do Ensino Fundamental ou Médio. Faça uma análise crítica das frases abaixo. (Algumas das frases apareceram na RPM Revista do Professor de Matemática-, a partir do número 40, na Seção Pisando na Bola.)
(g) “O centro
da mediatriz de
é…”
(g) “O centro
Passo 1
O que o enunciado pede: fazer uma análise crítica da frase
Informações relevantes dadas (retirei-as do enunciado e da figura):
- Existem dois pontos marcados:
e . - Os pontos
e pertencem a um mesmo plano (a figura indica isso). - A frase refere-se à "mediatriz de
" e nomeia um ponto .
Passo 2
O que é corretamente a mediatriz de um segmento? (explicação didática, passo a passo)
- Definição verbal: a mediatriz de um segmento
é a reta (no mesmo plano que e ) que é perpendicular ao segmento e passa pelo ponto médio de . - Propriedade prática importante: a mediatriz de
é o conjunto (locus) de todos os pontos do plano que estão à mesma distância de e de . Em outras palavras, um ponto está na mediatriz de se, e só se,
- Consequência: como a mediatriz é uma reta (infinita em ambas as direções), ela não tem “centro” no sentido de um único ponto que seja o centro da própria reta.
Observação intuitiva: imaginar uma régua infinita — não faz sentido falar em “centro” da régua; faz sentido falar no ponto médio de um pedaço finito (o segmento), mas a mediatriz é uma reta, não um pedaço finito.
Passo 3
Por que a expressão "o centro
da mediatriz de
" está errada ou ambígua?
- Problema 1 — uso de “centro” para uma reta: chamar de “centro da mediatriz” atribui à mediatriz algo que ela não tem. A mediatriz é uma reta; retas não têm um “centro” distinguível. Logo essa expressão é conceitualmente incorreta.
- Problema 2 — ambiguidade sobre o que
representa: a notação indica um ponto com coordenadas . Não fica claro se é: - o ponto médio do segmento
(ou seja, o “centro” do segmento ), ou - um ponto qualquer pertencente à mediatriz, ou
- o “centro” de alguma circunferência associada (por exemplo, o centro da circunferência cuja mediatriz é algo relevante).
A frase não especifica qual desses significados é o pretendido.
- o ponto médio do segmento
- Problema 3 — falta de sistema de coordenadas: escrever
pressupõe que se adotou um sistema de coordenadas no plano . Se as coordenadas de e não foram dadas ou se não foi indicado o referencial, mencionar sem contexto é impróprio.
Passo 4
Como escrever corretamente, dependendo do que se quis dizer — alternativas precisas e explicadas
- Se a intenção era dizer que
é um ponto qualquer da mediatriz de , a forma correta é: -
Essa frase diz queé um ponto com coordenadas e que esse ponto está sobre a reta mediatriz.
-
- Se a intenção era dizer que
é o ponto médio (centro do segmento) de , o correto é: -
Explicação: see num referencial cartesiano do plano, então o ponto médio tem coordenadas dadas pela fórmula média aritmética das coordenadas.
-
- Se a intenção era falar do centro de uma circunferência cuja mediatriz tem relação com
, então é preciso explicitar: por exemplo, -
Aqui faz sentido falar em “centro”, porque o centro de uma circunferência é um ponto; e esse ponto fica sobre a mediatriz de qualquer corda.
-
Passo 5
Fórmulas úteis (mostradas passo a passo) para aplicar em prova — como usar coordenadas corretamente
- Fórmula do ponto médio: suponha que num sistema cartesiano do plano
valha Então o ponto médio de é Derivação rápida: média das coordenadas porque a posição média em cada direção é a média aritmética. - Equação da mediatriz (via condição de equidistância): um ponto
pertence à mediatriz de se Desenvolvendo e simplificando os quadrados os termos quadráticos em e se cancelam, e obtém-se uma equação linear da forma que é precisamente a equação da reta mediatriz (forma linear, confirmando que é uma reta). - Relação com perpendicularidade: a mediatriz é perpendicular a
. Se a reta tem coeficiente angular (quando definido), a mediatriz terá coeficiente (o oposto do recíproco), e passa por o ponto médio .
Passo 6
Exemplo numérico curto (para fixar a ideia)
- Seja
e . O ponto médio é A mediatriz é a reta perpendicular a que passa por . O vetor diretor de é , logo a mediatriz tem vetor normal proporcional a e uma equação pode ser obtida por ou simplificando Isto mostra concretamente que a mediatriz é uma reta e que o único “ponto central” natural aqui é o ponto médio , não a reta inteira.
Passo 7
Síntese crítica e recomendação de redação
- Erros na frase original:
- usar a palavra “centro” aplicada à mediatriz (uma reta) — retas não têm centro;
- empregar
sem especificar se é ponto médio, ponto qualquer da mediatriz, ou centro de alguma circunferência; - usar coordenadas sem indicar sistema de referência ou sem relacionar com coordenadas de
e .
- Recomendações práticas para a prova/para a redação:
- Seja explícito: diga se
é um ponto qualquer da mediatriz, ou o ponto médio do segmento, ou o centro de uma circunferência. - Se usar coordenadas
, informe o referencial ou as coordenadas de e , e aplique as fórmulas mostradas. - Frases claras e corretas (algumas sugestões já dadas no Passo 4) evitam mal-entendidos.
- Seja explícito: diga se
Resposta
O trecho está incorreto: a mediatriz de
é uma reta (o conjunto dos pontos equidistantes de
e
) e não tem “centro”. Formule corretamente, por exemplo, como uma destas alternativas:
O ponto pertence à mediatriz de
.
ou
O ponto médio de é
.
O ponto
ou
O ponto médio de