Nos casos abaixo escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede a análise da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n-1}}{3^{n}}
Isso é uma série geométrica com termo geral
t_n = \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n}}.
Para resolver, vamos identificar o primeiro termo a, a razão r, escrever os cinco primeiros termos, verificar convergência pelo critério \lvert r\rvert<1 e, se convergente, calcular a soma pela fórmula
S = \frac{a}{1 - r}.

Passo 2

O primeiro termo é
a = t_1 = \frac{(-2)^{1-1}}{3^1} = \frac{1}{3}.
A razão é
r = \frac{t_{n+1}}{t_n} = \frac{\frac{(-2)^{n}}{3^{n+1}}}{\frac{(-2)^{n-1}}{3^n}} = \frac{-2}{3}.
Os cinco primeiros termos são
t_1 = \frac{1}{3},\quad t_2 = -\frac{2}{9},\quad t_3 = \frac{4}{27},\quad t_4 = -\frac{8}{81},\quad t_5 = \frac{16}{243}.

Passo 3

Para convergência de uma série geométrica precisamos de
\lvert r\rvert < 1.
Aqui \lvert r\rvert = \tfrac{2}{3} < 1, logo a série converge.

Passo 4

Como converge, sua soma é
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\tfrac{1}{3}}{1 - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{5}{3}} = \frac{1}{5}.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
\tfrac{1}{3}, -\tfrac{2}{9}, \tfrac{4}{27}, -\tfrac{8}{81}, \tfrac{16}{243}.
A série converge porque \lvert r\rvert = \tfrac{2}{3} < 1, e sua soma é
\frac{1}{5}.

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