Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{2 m+1}{m^{2}(m+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{2m+1}{m^{2}(m+1)^{2}}
e, se convergente, encontrar sua soma. Vamos usar decomposição em frações parciais para transformar o termo geral num formato telescópico.

Passo 2

Proponho a identidade
\frac{2m+1}{m^{2}(m+1)^{2}} =\frac{A}{m}+\frac{B}{m^{2}}+\frac{C}{m+1}+\frac{D}{(m+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por m^{2}(m+1)^{2} obtemos
2m+1 = A\,m(m+1)^{2} + B\,(m+1)^{2} + C\,m^{2}(m+1) + D\,m^{2}.

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes do polinômio em m:
  • Grau 3: A + C = 0.
  • Grau 2: 2A + B + C + D = 0.
  • Grau 1: A + 2B = 2.
  • Grau 0: B = 1.
    Dessas equações vem B=1, A+2\cdot1=2\Rightarrow A=0, C=-A=0 e D=-A-B=-1.

Passo 4

Substituindo os coeficientes achados,
\frac{2m+1}{m^{2}(m+1)^{2}} =\frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{(m+1)^{2}}.
Assim o n-ésimo somatório parcial é
S_{n}=\sum_{m=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{(m+1)^{2}}\Bigr) =1-\frac{1}{(n+1)^{2}},
pois telescopa tudo, sobrando apenas o primeiro e o último termo.

Passo 5

Fazendo n\to\infty no S_{n},
\lim_{n\to\infty}S_{n} =1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}} =1.
Logo a série converge e sua soma vale 1.

Resposta

A série converge e
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m+1}{m^{2}(m+1)^{2}} = 1.

Exercícios relacionados