Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se convergente, encontrar sua soma. Vamos usar decomposição em frações parciais para transformar o termo geral num formato telescópico.
Passo 2
Proponho a identidade
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 3
Expandindo e igualando coeficientes do polinômio em
:
- Grau 3:
. - Grau 2:
. - Grau 1:
. - Grau 0:
.
Dessas equações vem, , e .
Passo 4
Substituindo os coeficientes achados,
Assim o
-ésimo somatório parcial é
pois telescopa tudo, sobrando apenas o primeiro e o último termo.
Passo 5
Fazendo
no
,
Logo a série converge e sua soma vale
.
Resposta
A série converge e