Para os casos a seguir indicados calcule u \cdot v e \cos \theta(\theta =\Varangle(\mathrm{u}, \mathrm{v})).
\mathrm{u}=(-1,1,0), \mathrm{v}=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \mathrm{u}=(-1,1,0) e \mathrm{v}=(0,0,1) e pede o produto escalar \mathrm{u}\cdot\mathrm{v} e o cosseno do ângulo \theta entre eles. O conteúdo é o produto escalar em \mathbb{R}^3 e a relação com o cosseno do ângulo.

Passo 2

Para calcular \mathrm{u}\cdot\mathrm{v} usamos a definição
\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Substituindo,
\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}=(-1)\cdot0+1\cdot0+0\cdot1=0.

Passo 3

Para achar \cos\theta precisamos das normas \|\mathrm{u}\| e \|\mathrm{v}\|, onde
\|\mathrm{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2},\quad \|\mathrm{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Logo,
\|\mathrm{u}\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{2},
\|\mathrm{v}\|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1.

Passo 4

O cosseno do ângulo é dado por
\cos\theta=\frac{\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}}{\|\mathrm{u}\|\|\mathrm{v}\|}.
Assim,
\cos\theta=\frac{0}{\sqrt{2}\cdot1}=0.

Resposta

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0
\cos \theta = 0

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