Seja U=\left\{(x, y, z) \in R^{3}: x-y-z=0, x+y+z=0\right\}.
a) Determine a projeção ortogonal de (3,0,-1) sobre U.
b) Qual a distância de (3,0,-1) a U?

Passo 1

O enunciado define o subespaço U\subset\mathbb R^3 por duas equações lineares e pede (a) a projeção ortogonal de v=(3,0,-1) em U e (b) a distância de v até U. Para isso, vamos encontrar um vetor que gera U, usar a fórmula de projeção ortogonal num subespaço unidimensional e depois calcular a norma do vetor residual.

Passo 2

Resolvendo o sistema
x - y - z = 0, \quad x + y + z = 0
somando as equações dá 2x=0 \Rightarrow x=0. Então de x - y - z=0 vem y+z=0, i.e.\ z=-y. Assim
U = \{(0,y,-y) : y \in \mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{u\},
onde escolhemos u = (0,1,-1).

Passo 3

A projeção de v sobre \span\{u\} é
\proj_U(v) = \frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u.
Calculamos
v\cdot u = (3,0,-1)\cdot(0,1,-1) = 1, \quad u\cdot u = 0^2 +1^2+(-1)^2 = 2.
Logo o coeficiente vale 1/2 e
\proj_U(v) = \tfrac12\,(0,1,-1) = \bigl(0,\tfrac12,-\tfrac12\bigr).

Passo 4

A distância de v a U é \|v-\proj_U(v)\|. Temos
v - \proj_U(v) = (3,0,-1) - \bigl(0,\tfrac12,-\tfrac12\bigr) = \bigl(3,-\tfrac12,-\tfrac12\bigr),
então
\|v - \proj_U(v)\| = \sqrt{3^2 + \bigl(-\tfrac12\bigr)^2 + \bigl(-\tfrac12\bigr)^2} = \sqrt{9 + \tfrac14 + \tfrac14} = \sqrt{\tfrac{19}{2}} = \frac{\sqrt{38}}{2}.

Resposta

a) \displaystyle \bigl(0,\tfrac12,-\tfrac12\bigr).
b) \displaystyle \sqrt{\tfrac{19}{2}} (ou \tfrac{\sqrt{38}}{2}).

Exercícios relacionados