Seja
.
a) Determine a projeção ortogonal de
sobre
.
b) Qual a distância de
a U?
a) Determine a projeção ortogonal de
b) Qual a distância de
Passo 1
O enunciado define o subespaço
por duas equações lineares e pede (a) a projeção ortogonal de
em
e (b) a distância de
até
. Para isso, vamos encontrar um vetor que gera
, usar a fórmula de projeção ortogonal num subespaço unidimensional e depois calcular a norma do vetor residual.
Passo 2
Resolvendo o sistema
somando as equações dá
. Então de
vem
, i.e.\
. Assim
onde escolhemos
.
Passo 3
A projeção de
sobre
é
Calculamos
Logo o coeficiente vale
e
Passo 4
A distância de
a
é
. Temos
então
Resposta
a)
b) (ou
).
b)