Para os casos a seguir indicados calcule u \cdot v e \cos \theta(\theta =\Varangle(\mathrm{u}, \mathrm{v})).
u=(1,2,-1), v=(3,1,0).

Passo 1

O enunciado pede o produto escalar de \mathbf{u}=(1,2,-1) e \mathbf{v}=(3,1,0) e o cosseno do ângulo \theta=\Varangle(\mathbf{u},\mathbf{v}). Vamos usar as definições:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}u_i\,v_i \quad\text{e}\quad \cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.

Passo 2

Calcular o produto escalar:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} =1\cdot3 + 2\cdot1 + (-1)\cdot0 =3 + 2 + 0 =5.

Passo 3

Calcular as normas:
\|\mathbf{u}\| =\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{6}, \qquad \|\mathbf{v}\| =\sqrt{3^2+1^2+0^2} =\sqrt{10}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta =\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|} =\frac{5}{\sqrt{6}\,\sqrt{10}} =\frac{5}{\sqrt{60}} =\frac{\sqrt{15}}{6}.

Resposta

\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=5
\cos\theta=\tfrac{\sqrt{15}}{6}

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