Para os casos a seguir indicados calcule u \cdot v e \cos \theta(\theta =\Varangle(\mathrm{u}, \mathrm{v})).
u=(-2,-1,1), v=(3,1,-2).

Passo 1

O enunciado dá os vetores em \mathbb{R}^3
u = (-2,\,-1,\,1), \quad v = (3,\,1,\,-2)
e pede (a) o produto escalar u\cdot v e (b) o cosseno do ângulo \theta entre eles, usando as definições
u\cdot v = \sum_{i=1}^{3}u_i\,v_i
e
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|},
onde \|w\| = \sqrt{\sum_i w_i^2}.

Passo 2

Calculamos o produto escalar substituindo componente a componente:
u\cdot v = (-2)\cdot 3 + (-1)\cdot 1 + 1\cdot(-2) = -6 -1 -2 = -9.

Passo 3

Agora as normas de u e v:
\|u\| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6},
\|v\| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}.

Passo 4

Usando a fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{-9}{\sqrt{6}\,\sqrt{14}} = \frac{-9}{\sqrt{84}} = \frac{-9}{2\sqrt{21}} = -\frac{3\sqrt{21}}{14}.

Resposta

u\cdot v = -9
\displaystyle \cos\theta = -\frac{3\sqrt{21}}{14}

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