(Cefet-PR) Para a festa do Natal, uma crche necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma doação de R$370,00. Esperava-se comprar carrinhos a \mathrm{R} \2,00 cada, bonecas a\mathrm{R} $ 3,00 e bolas a\mathrm{R} $3,50$. Se o número de bolas deveria
ser igual ao número de bonecas e carrinhos juntos, a solução seria comprar:
a) 60 bonecas, 30 carrinhos e 30 bolas
b) 20 bonecas, 40 carrinhos e 60 bolas
c) 30 bonecas, 30 carrinhos e 60 bolas
d) 25 bonecas, 45 carrinhos e 70 bolas
e) 40 bonecas, 20carrinhos e 60 bolas

Passo 1

O enunciado pede que encontremos quantos brinquedos de cada tipo comprar (carrinhos, bonecas e bolas) entre as alternativas dadas, sabendo as seguintes informações fornecidas pelo problema:
  • Necessitam-se 120 brinquedos no total.
  • Recebeu-se uma doação de \text{R\$}370{,}00.
  • Preços unitários: carrinho \text{R\$}2{,}00, boneca \text{R\$}3{,}00 e bola \text{R\$}3{,}50.
  • Condição sobre quantidades: o número de bolas deve ser igual ao número de bonecas e carrinhos juntos.
As perguntas do enunciado: entre as alternativas (a)–(e), qual combinação de quantidades satisfaz todas as condições (total de brinquedos, gasto total e relação entre as quantidades)?

Passo 2

Vamos traduzir as informações em variáveis e equações (isso é transformar palavras em matemática, passo essencial e muito usado em provas).
Defina:
  • x = número de carrinhos,
  • y = número de bonecas,
  • z = número de bolas.
Agora escrevemos as equações que vêm diretamente do enunciado:
  1. total de brinquedos:
x + y + z = 120
  1. valor gasto (somando preço vezes quantidade):
2x + 3y + 3{,}5z = 370
  1. relação entre quantidades (bolas = carrinhos + bonecas):
z = x + y

Passo 3

Usamos a equação z = x + y para simplificar as outras duas equações (substituição). Substituindo em x+y+z=120 temos:
x + y + (x+y) = 120.
Agora simplificamos a soma:
2x + 2y = 120.
Dividindo ambos os lados por 2 (explicação: se cada termo tem fator comum 2, podemos dividir para simplificar):
x + y = 60.
Como z = x + y, concluímos imediatamente:
z = 60.
Ou seja: o número de bolas é 60. Já reduzimos uma incógnita — ótimo!

Passo 4

Substituímos z = 60 na equação do custo para achar uma relação entre x e y:
2x + 3y + 3{,}5\cdot 60 = 370.
Calculemos 3{,}5\cdot 60. Uma maneira prática: 3{,}5 = 7/2, então 3{,}5\cdot 60 = \tfrac{7}{2}\cdot 60 = 7\cdot 30 = 210. Portanto:
2x + 3y + 210 = 370.
Subtraindo 210 de ambos os lados:
2x + 3y = 160.
Agora temos um sistema simples de duas equações com duas incógnitas:
\begin{cases} x + y = 60,\\[4pt] 2x + 3y = 160. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema. Vou usar substituição (fácil e direto): da primeira equação
x = 60 - y.
Substituo esse x na segunda equação:
2(60 - y) + 3y = 160.
Desenvolvendo os parênteses:
120 - 2y + 3y = 160.
Agrupando termos em y:
120 + y = 160.
Isolando y:
y = 160 - 120 = 40.
Agora volto para x = 60 - y:
x = 60 - 40 = 20.
E já tínhamos z = 60.
Interpretação: x=20 carrinhos, y=40 bonecas, z=60 bolas.

Passo 6

Verificações finais (sempre faça na prova — confirma que não cometemos erro de sinal ou aritmética):
  • Total de brinquedos: x+y+z = 20 + 40 + 60 = 120
  • Custo total: 2x + 3y + 3{,}5z = 2\cdot 20 + 3\cdot 40 + 3{,}5\cdot 60 = 40 + 120 + 210 = 370
  • Relação: z = x + y --> 60 = 20 + 40
Como a solução encontrada é 40 bonecas, 20 carrinhos e 60 bolas, vamos checar qual alternativa corresponde: isso é a alternativa (e).

Resposta

e) 40 bonecas, 20 carrinhos e 60 bolas

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