(Unificado- RJ) Para que valores de k existe uma única matriz \binom{x}{y}, tal que \left(\begin{array}{cc}k-1 & -2 \\\\ -1 & k\end{array}\right) \cdot\binom{x}{y}=\binom{0}{0} ?
a) \mathrm{k} \neq-1
b) \mathrm{k}=-2
c) \mathrm{k}=-2 ou \mathrm{k}=1
d) \mathrm{k} \neq-2 e \mathrm{k} \neq 1
e) \mathrm{k} \neq 2 e \mathrm{k} \neq-1
e pergunta para quais valores de k existe uma única matriz \binom{x}{y} tal que
A\cdot\binom{x}{y}=\binom{0}{0}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Entradas da matriz: } a_{11}=k-1,\; a_{12}=-2,\; a_{21}=-1,\; a_{22}=k.
A pergunta é: quais valores de k garantem que o sistema homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0} (com \mathbf{v}=\binom{x}{y}) tenha solução única?]
Passo 2
Conceito importante (explicado devagarinho): para um sistema homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0},
sempre existe pelo menos a solução trivial \mathbf{v}=\binom{0}{0};
essa solução é a única se, e somente se, a matriz A for inversível (ou seja, existir A^{-1});
para uma matriz 2\times2, a condição de inversibilidade é que o determinante seja diferente de zero.
Fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\text{Se } B=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},\text{ então }\det(B)=ad-bc.ã
Aqui a,b,c,d são as entradas da matriz (cada uma é um número ou expressão). Se \det(B)\neq 0, a matriz é inversível e o sistema homogêneo tem única solução (a trivial).
Exemplinho rápido para fixar:
\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\text{ tem }\det=1\neq0\Rightarrow\text{única solução }(0,0).úçã
\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&4\end{pmatrix}\text{ tem }\det=1\cdot4-2\cdot2=0\Rightarrow\text{não inversível (infinitas soluções).}ãíçõ
Passo 3
Aplicando a fórmula do determinante à matriz dada A:
\det(A)=(k-1)\cdot k - (-2)\cdot(-1).
Agora cálculo passo a passo:
(k-1)\cdot k = k(k-1)=k^2-k,
(-2)\cdot(-1)=2.
Portanto
\det(A)=k^2-k-2.
Passo 4
Precisamos saber para quais k temos \det(A)\neq0. Primeiro fatoramos o polinômio:
k^2-k-2=(k-2)(k+1).
Verificação rápida: k\cdot k = k^2, soma interna -2k + k = -k, produto -2 — confere.
Assim \det(A)=0 exatamente quando k-2=0 ou k+1=0, ou seja para
k=2 \quad\text{ou}\quad k=-1.
Significado: para k=2 ou k=-1 a matriz A é singular (não inversível) e o sistema homogêneo terá ou infinitas soluções (ou pelo menos não terá solução única). Para todos os outros valores de k a matriz é inversível e a única solução do sistema é a trivial \binom{0}{0}.
Passo 5
Conclusão final do raciocínio: existe solução única (apenas \binom{0}{0}) exatamente quando \det(A)\neq0, isto é, quando k não é 2 nem -1.
Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde a essa condição é a alternativa que diz \,k\neq2 e k\neq-1.