A célula unitária é o menor agrupamento de átomos representativo de uma determinada estrutura cristalina específica. Um conjunto de células unitárias forma o cristal com contornos geométricos, o qual, ao adquirir os contornos irregulares, devido aos pontos de contato de cada conjunto, passa a chamar-se grão. Tomando como base a definição de célula unitária e adotando que a
estrutura é cristalina, calcule a quantidade de células unitárias presentes em uma lamina de uma faca de cozinha. Adote que a estrutura e CCC.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações/pressupostos que vou adotar (como o enunciado não dá tamanho nem parâmetro de rede, preciso assumir valores razoáveis; isso é comum em exercícios práticos).
  • O que o enunciado pede: calcular a quantidade de células unitárias presentes em uma lâmina de faca de cozinha, assumindo que a estrutura é cúbica de corpo centrado (CCC, isto é, BCC).
  • Informação dada: estrutura cristalina = CCC (BCC).
  • Pressuposições que adoto (explicando por quê):
    • Aproximo a lâmina por um paralelepípedo retangular (modelo simples para estimar volume). Isso facilita o cálculo e é aceitável para um pedido de ordem de grandeza.
    • Dimensões típicas adotadas para a lâmina: comprimento L=20\\ \text{cm}=0,20\\ \text{m}, largura W=3\\ \text{cm}=0,03\\ \text{m} e espessura média T=2\\ \text{mm}=0,002\\ \text{m}. Estas são escolhas razoáveis para uma faca de cozinha comum; se a lâmina for maior/menor, o resultado escala proporcionalmente ao volume.
    • Material aproximado: aço (ferro), que na forma ferrítica tem estrutura BCC. Vou usar o parâmetro de rede do ferro α: a=2,866\times10^{-10}\\ \text{m} (valor tabulado para ferro BCC a temperatura ambiente). Poderia também obter a a partir do raio atômico usando a relação BCC a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}}, mas usar o valor tabulado é mais direto.
  • Objetivo operacional: calcular o número de células unitárias pela razão entre o volume da lâmina e o volume de uma célula unitária ( a^3).

Passo 2

Explicação didática das fórmulas que vou usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Definição: numa rede cúbica, o volume de uma célula unitária é o cubo do parâmetro de rede. Assim, para uma estrutura cúbica:
V_{\text{célula}}=a^{3},é
onde a é o parâmetro de rede (lado do cubo da célula unitária), com unidades de metros ( \text{m}).
  • A razão entre o volume total da peça e o volume de uma célula dá o número de células unitárias (supondo preenchimento homogêneo):
N=\frac{V_{\text{lâmina}}}{V_{\text{célula}}}=\frac{V_{\text{lâmina}}}{a^{3}}.âéâ
Aqui:
  • N é o número de células unitárias (grandeza adimensional).
  • V_{\text{lâmina}}â é o volume da lâmina em \text{m}^{3}.
  • a^{3} é o volume de uma célula unitária em \text{m}^{3}.
  • Observação didática extra (útil para entender ordem de grandeza): na estrutura BCC cada célula contém efetivamente 2 átomos. Portanto, se for útil saber o número de átomos, basta multiplicar N por 2.

Passo 3

Cálculo do volume da lâmina usando as dimensões assumidas, com contas bem mostradas.
  • Converter e listar dimensões (já convertidas):
    • L=0,20\\ \text{m}
    • W=0,03\\ \text{m}
    • T=0,002\\ \text{m}
  • Volume da lâmina:
V_{\text{lâmina}}=L\cdot W\cdot T.â
Substituindo:
V_{\text{lâmina}}=0,20\times0,03\times0,002.â
Calcule passo a passo:
0,20\times0,03=0,006,
0,006\times0,002=0,000012.
Em notação científica:
V_{\text{lâmina}}=1,20\times10^{-5}\\ \text{m}^{3}.â

Passo 4

Cálculo do volume da célula unitária a^{3} a partir do parâmetro de rede escolhido.
  • Parâmetro de rede adotado: a=2,866\times10^{-10}\\ \text{m}.
  • Volume da célula:
a^{3}=(2,866\times10^{-10})^{3}.
Fazendo a potência por partes:
(2,866)^{3}\approx23,54\quad\text{e}\quad(10^{-10})^{3}=10^{-30}.
Portanto
a^{3}\approx23,54\times10^{-30}\\ \text{m}^{3}.
Ajustando para notação usual:
a^{3}\approx2,354\times10^{-29}\\ \text{m}^{3}.

Passo 5

Divisão para obter o número de células unitárias, mostrando o manejo dos expoentes e da mantissa.
  • Fórmula:
N=\frac{V_{\text{lâmina}}}{a^{3}}=\frac{1,20\times10^{-5}}{2,354\times10^{-29}}.â
Separe mantissas e potências de dez:
N=\frac{1,20}{2,354}\times10^{(-5)-(-29)}=\frac{1,20}{2,354}\times10^{24}.
Calcule a razão das mantissas:
\frac{1,20}{2,354}\approx0,5097.
Logo
N\approx0,5097\times10^{24}=5,097\times10^{23}.
Arredondando para duas casas significativas, fica:
N\approx5,10\times10^{23}\\ \text{células unitárias}.éá

Passo 6

Interpretação rápida e checagem de ordem de grandeza (motivacional).
  • O resultado está na mesma ordem do número de Avogadro ( 6,02\times10^{23}), o que faz sentido: um corpo macroscópico de volume \sim10^{-5}\\ \text{m}^{3} feito de átomos cujo parâmetro de rede é da ordem de 10^{-10}\\ \text{m} contém muitos centenas de trilhões de trilhões de células — ordem 10^{23}.
  • Se interessar o número de átomos (apenas para saber), para BCC cada célula tem 2 átomos, então
N_{\text{átomos}}\approx2\times N\approx1,02\times10^{24}\\ \text{átomos}.áá
  • Observação final: se as dimensões reais da lâmina forem diferentes das que assumi, basta recalcular V_{\text{lâmina}}â e aplicar a mesma divisão; o resultado escala linearmente com o volume.

Resposta

5,10\times10^{23}

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