A célula unitária é o menor agrupamento de átomos representativo de uma determinada estrutura cristalina específica. Um conjunto de células unitárias forma o cristal com contornos geométricos, o qual, ao adquirir os contornos irregulares, devido aos pontos de contato de cada conjunto, passa a chamar-se grão. Tomando como base a definição de célula unitária e adotando que a
estrutura é cristalina, calcule a quantidade de células unitárias presentes em uma lamina de uma faca de cozinha. Adote que a estrutura e CCC.
estrutura é cristalina, calcule a quantidade de células unitárias presentes em uma lamina de uma faca de cozinha. Adote que a estrutura e CCC.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações/pressupostos que vou adotar (como o enunciado não dá tamanho nem parâmetro de rede, preciso assumir valores razoáveis; isso é comum em exercícios práticos).
- O que o enunciado pede: calcular a quantidade de células unitárias presentes em uma lâmina de faca de cozinha, assumindo que a estrutura é cúbica de corpo centrado (CCC, isto é, BCC).
- Informação dada: estrutura cristalina = CCC (BCC).
- Pressuposições que adoto (explicando por quê):
- Aproximo a lâmina por um paralelepípedo retangular (modelo simples para estimar volume). Isso facilita o cálculo e é aceitável para um pedido de ordem de grandeza.
- Dimensões típicas adotadas para a lâmina: comprimento
, largura e espessura média . Estas são escolhas razoáveis para uma faca de cozinha comum; se a lâmina for maior/menor, o resultado escala proporcionalmente ao volume. - Material aproximado: aço (ferro), que na forma ferrítica tem estrutura BCC. Vou usar o parâmetro de rede do ferro α:
(valor tabulado para ferro BCC a temperatura ambiente). Poderia também obter a partir do raio atômico usando a relação BCC , mas usar o valor tabulado é mais direto.
- Objetivo operacional: calcular o número de células unitárias pela razão entre o volume da lâmina e o volume de uma célula unitária (
).
Passo 2
Explicação didática das fórmulas que vou usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Definição: numa rede cúbica, o volume de uma célula unitária é o cubo do parâmetro de rede. Assim, para uma estrutura cúbica:
onde
é o parâmetro de rede (lado do cubo da célula unitária), com unidades de metros (
).
- A razão entre o volume total da peça e o volume de uma célula dá o número de células unitárias (supondo preenchimento homogêneo):
Aqui:
-
é o número de células unitárias (grandeza adimensional). -
é o volume da lâmina em . -
é o volume de uma célula unitária em . - Observação didática extra (útil para entender ordem de grandeza): na estrutura BCC cada célula contém efetivamente 2 átomos. Portanto, se for útil saber o número de átomos, basta multiplicar
por 2.
Passo 3
Cálculo do volume da lâmina usando as dimensões assumidas, com contas bem mostradas.
- Converter e listar dimensões (já convertidas):
-
- Volume da lâmina:
Substituindo:
Calcule passo a passo:
Em notação científica:
Passo 4
Cálculo do volume da célula unitária
a partir do parâmetro de rede escolhido.
- Parâmetro de rede adotado:
. - Volume da célula:
Fazendo a potência por partes:
Portanto
Ajustando para notação usual:
Passo 5
Divisão para obter o número de células unitárias, mostrando o manejo dos expoentes e da mantissa.
- Fórmula:
Separe mantissas e potências de dez:
Calcule a razão das mantissas:
Logo
Arredondando para duas casas significativas, fica:
Passo 6
Interpretação rápida e checagem de ordem de grandeza (motivacional).
- O resultado está na mesma ordem do número de Avogadro (
), o que faz sentido: um corpo macroscópico de volume feito de átomos cujo parâmetro de rede é da ordem de contém muitos centenas de trilhões de trilhões de células — ordem . - Se interessar o número de átomos (apenas para saber), para BCC cada célula tem 2 átomos, então
- Observação final: se as dimensões reais da lâmina forem diferentes das que assumi, basta recalcular
e aplicar a mesma divisão; o resultado escala linearmente com o volume.