O ferro passa da estrutura CCC para CFC a temperatura 912^{\circ} \mathrm{C}. Responda: a) Qual o aumento de percentual da mudança de estrutura e b) como se explica o aumento de raio atômico das estruturas.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura da transformação do ferro de estrutura CCC para CFC: 912^{\circ}\mathrm{C}. Pede duas coisas:
  • (a) calcular o aumento percentual da mudança de estrutura (o enunciado não diz explicitamente “o aumento do quê”, por isso mais adiante vou explicar qual grandeza vou comparar e por quê);
  • (b) explicar por que ocorre aumento do raio atômico entre as estruturas (pedir uma explicação física/geométrica).
Informações relevantes que o enunciado fornece ou que são necessárias (serão usadas): a transformação ocorre de CCC (estrutura centrada no corpo) para CFC (estrutura centrada nas faces) em 912^{\circ}\mathrm{C}. Não há outros números no enunciado, então serão usadas as relações geométricas padrão entre parâmetro de rede a e raio atômico R e as fórmulas de empacotamento atômico das redes cristalinas.

Passo 2

Interpretação do que calcular em (a) e escolha do método. O enunciado é vago ao dizer “aumento percentual da mudança de estrutura”. Em problemas desse tipo, uma comparação típica e útil entre CCC e CFC é a comparação do fator de empacotamento atômico (APF, atomic packing factor) — isto é, a fração do volume do cela unitária ocupada pelos esferas atômicas. O APF é uma propriedade geométrica direta das duas redes e costuma ser o que se compara quando se fala em “quão mais densa” fica a estrutura ao mudar de CCC para CFC. Vou, portanto, calcular o aumento percentual do APF (percentual relativo ao valor em CCC). Isso é um passo de escolha de método: é simples, geométrico e geralmente o pedido esperado. Se você esperasse outra grandeza (por exemplo, variação de densidade experimental), deveríamos ter os parâmetros de rede ou a massa molar; como não foram dados, o APF é a melhor opção.
Antes de calcular, lembro as fórmulas e relações geométricas que vou usar (passando devagar, explicando cada coisa):
  • APF = \dfrac{\text{volume total das esferas na cela}}{\text{volume da cela unitária}}á.
  • Em CCC (BCC): número de átomos por cela =2. Os átomos são modelados como esferas de raio R.
  • Em CFC (FCC): número de átomos por cela =4.
  • Relações geométricas entre a (parâmetro da cela cúbica) e R:
    • CCC: os átomos tocam ao longo da diagonal do corpo, logo \sqrt{3}\,a = 4R.
    • CFC: os átomos tocam ao longo da diagonal da face, logo \sqrt{2}\,a = 4R.
      Vou usar essas relações para expressar o volume da cela em função de R, cancelar R^3 e obter APF numérica (sem necessidade de valor numérico de R).

Passo 3

Cálculo do APF para CCC (BCC) passo a passo.
  1. Número de átomos por cela: N_{\text{CCC}}=2.
  2. Volume de uma esfera atômica: \dfrac{4}{3}\pi R^{3}.
  3. Volume total das esferas na cela: V_{\text{esferas,CCC}}=N_{\text{CCC}}\cdot\dfrac{4}{3}\pi R^{3}=2\cdot\dfrac{4}{3}\pi R^{3}=\dfrac{8}{3}\pi R^{3}.
  4. Relação entre a e R para CCC: \sqrt{3}\,a=4R, logo
a=\dfrac{4R}{\sqrt{3}}.
  1. Volume da cela unitária: V_{\text{cela,CCC}}=a^{3}=\left(\dfrac{4R}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\dfrac{64R^{3}}{3\sqrt{3}}.
  2. APF para CCC:
\text{APF}_{\text{CCC}}=\dfrac{V_{\text{esferas,CCC}}}{V_{\text{cela,CCC}}} =\dfrac{\dfrac{8}{3}\pi R^{3}}{\dfrac{64R^{3}}{3\sqrt{3}}} =\dfrac{8\pi}{64}\sqrt{3} =\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}.
  1. Valor numérico: como \pi\approx3{,}1416 e \sqrt{3}\approx1{,}73205,
\text{APF}_{\text{CCC}}=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx\dfrac{3{,}1416\times1{,}73205}{8}\approx0{,}680\;(\text{ou }68{,}0\%).

Passo 4

Cálculo do APF para CFC (FCC) passo a passo.
  1. Número de átomos por cela: N_{\text{CFC}}=4.
  2. Volume total das esferas na cela: V_{\text{esferas,CFC}}=4\cdot\dfrac{4}{3}\pi R^{3}=\dfrac{16}{3}\pi R^{3}.
  3. Relação entre a e R para CFC: \sqrt{2}\,a=4R, logo
a=\dfrac{4R}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,R.
  1. Volume da cela unitária: V_{\text{cela,CFC}}=a^{3}=(2\sqrt{2}\,R)^{3}=16\sqrt{2}\,R^{3}.
  2. APF para CFC:
\text{APF}_{\text{CFC}}=\dfrac{V_{\text{esferas,CFC}}}{V_{\text{cela,CFC}}} =\dfrac{\dfrac{16}{3}\pi R^{3}}{16\sqrt{2}\,R^{3}} =\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}.
  1. Valor numérico: como \sqrt{2}\approx1{,}41421,
\text{APF}_{\text{CFC}}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx\dfrac{3{,}1416}{3\times1{,}41421}\approx0{,}74048\;(\text{ou }74{,}05\%).

Passo 5

Cálculo do aumento percentual do APF ao passar de CCC para CFC.
Usa-se a fórmula do aumento percentual relativo ao valor inicial (CCC):
\%\\ \text{aumento}=\dfrac{\text{APF}_{\text{CFC}}-\text{APF}_{\text{CCC}}}{\text{APF}_{\text{CCC}}}\times100\%.
Substituindo os valores encontrados:
\%\\ \text{aumento}=\dfrac{0{,}74048-0{,}68000}{0{,}68000}\times100\% =\dfrac{0{,}06048}{0{,}68000}\times100\%\approx8{,}882\%\approx8{,}82\%.
Também se pode mencionar que a diferença em pontos percentuais é 74{,}05\%-68{,}00\%=6{,}05\% (ou seja, a APF aumenta cerca de 6 pontos percentuais), mas o aumento percentual relativo é \approx8{,}82\%.

Passo 6

Explicação didática e geométrica do porquê do aumento do “raio atômico” ou do espaçamento entre átomos quando ocorre a transição CCC \to CFC.
Primeiro, clarificar o que se entende por “raio atômico” em sólidos metálicos: normalmente usamos o raio metálico definido a partir da distância entre vizinhos mais próximos, R=\dfrac{d_{\text{NN}}}{2}, onde d_{\text{NN}} é a distância entre centros de átomos vizinhos mais próximos.
Relações úteis (já dadas antes):
  • Para CCC: vizinho mais próximo fica ao longo da diagonal do corpo, e a condição de contato dá \sqrt{3}\,a=4R, portanto R_{\text{CCC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a_{\text{CCC}}.
  • Para CFC: vizinho mais próximo fica ao longo da diagonal da face, dando \sqrt{2}\,a=4R, portanto R_{\text{CFC}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}a_{\text{CFC}}.
Do ponto de vista geométrico, duas coisas influenciam o valor numérico do raio metálico observado na transição:
  1. Mudança de coordenação: CCC tem coordenação 8 (cada átomo tem 8 vizinhos mais próximos), enquanto CFC tem coordenação 12. Aumentar o número de vizinhos altera o equilíbrio entre forças de ligação metálica e repulsões entre elétrons/ núcleos; a nova geometria CFC permite que os átomos se reorganizem em posições onde cada átomo tem mais vizinhos próximos, mudando a distância de equilíbrio entre centros atômicos.
  2. Efeito térmico: a transformação em 912^{\circ}\mathrm{C} ocorre em temperatura elevada; a expansão térmica tende a aumentar o parâmetro de rede a (e, portanto, as distâncias interatômicas). Assim, além da mera diferença geométrica entre CCC e CFC, a temperatura maior na fase CFC traz um aumento do espaçamento médio entre átomos.
Juntando esses pontos para explicar o “aumento do raio atômico” observado:
  • Geometricamente, as fórmulas acima mostram que a relação entre a e R muda com a estrutura. Se na prática, no ponto de transformação, o parâmetro de rede a na fase CFC resulta num R_{\text{CFC}} maior do que o R_{\text{CCC}} da fase anterior (isto é frequentemente o caso experimentalmente porque a combinação de maior coordenação e temperatura faz com que a distância de equilíbrio aumente), então observa-se um aumento do raio metálico.
  • Em palavras simples e intuitivas: ao passar para CFC cada átomo “ganha” mais vizinhos e o arranjo mais denso (maior APF) exige uma nova posição de equilíbrio das partículas; somando a isso o fato de que a transformação ocorre a alta temperatura (maior agitação térmica e expansão), o resultado prático é um aumento da distância média entre núcleos tomada como raio metálico efetivo.
Resumo físico curto: a mudança CCC→CFC altera a geometria de empacotamento (mais vizinhos, outro modo de contato) e ocorre a alta temperatura — ambos causam ajuste nas distâncias de equilíbrio entre átomos, o que se observa como aumento do raio metálico médio.

Resposta

(a) \approx 8{,}82\% (aumento percentual relativo do APF ao passar de CCC para CFC).
(b) O aumento do raio atômico efetivo se explica porque a mudança geométrica CCC→CFC altera a relação entre parâmetro de rede a e raio R (contatos ao longo de diagonais diferentes) e aumenta a coordenação de 8 para 12; somado ao efeito da alta temperatura (expansão térmica), resulta em um novo equilíbrio interatômico com maior distância média entre centros (raio metálico efetivo maior).

Exercícios relacionados