O ferro passa da estrutura CCC para CFC a temperatura
. Responda: a) Qual o aumento de percentual da mudança de estrutura e b) como se explica o aumento de raio atômico das estruturas.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura da transformação do ferro de estrutura CCC para CFC:
. Pede duas coisas:
- (a) calcular o aumento percentual da mudança de estrutura (o enunciado não diz explicitamente “o aumento do quê”, por isso mais adiante vou explicar qual grandeza vou comparar e por quê);
- (b) explicar por que ocorre aumento do raio atômico entre as estruturas (pedir uma explicação física/geométrica).
Informações relevantes que o enunciado fornece ou que são necessárias (serão usadas): a transformação ocorre de CCC (estrutura centrada no corpo) para CFC (estrutura centrada nas faces) em
. Não há outros números no enunciado, então serão usadas as relações geométricas padrão entre parâmetro de rede
e raio atômico
e as fórmulas de empacotamento atômico das redes cristalinas.
Passo 2
Interpretação do que calcular em (a) e escolha do método. O enunciado é vago ao dizer “aumento percentual da mudança de estrutura”. Em problemas desse tipo, uma comparação típica e útil entre CCC e CFC é a comparação do fator de empacotamento atômico (APF, atomic packing factor) — isto é, a fração do volume do cela unitária ocupada pelos esferas atômicas. O APF é uma propriedade geométrica direta das duas redes e costuma ser o que se compara quando se fala em “quão mais densa” fica a estrutura ao mudar de CCC para CFC. Vou, portanto, calcular o aumento percentual do APF (percentual relativo ao valor em CCC). Isso é um passo de escolha de método: é simples, geométrico e geralmente o pedido esperado. Se você esperasse outra grandeza (por exemplo, variação de densidade experimental), deveríamos ter os parâmetros de rede ou a massa molar; como não foram dados, o APF é a melhor opção.
Antes de calcular, lembro as fórmulas e relações geométricas que vou usar (passando devagar, explicando cada coisa):
- APF =
. - Em CCC (BCC): número de átomos por cela
. Os átomos são modelados como esferas de raio . - Em CFC (FCC): número de átomos por cela
. - Relações geométricas entre
(parâmetro da cela cúbica) e : - CCC: os átomos tocam ao longo da diagonal do corpo, logo
. - CFC: os átomos tocam ao longo da diagonal da face, logo
.
Vou usar essas relações para expressar o volume da cela em função de, cancelar e obter APF numérica (sem necessidade de valor numérico de ).
- CCC: os átomos tocam ao longo da diagonal do corpo, logo
Passo 3
Cálculo do APF para CCC (BCC) passo a passo.
-
Número de átomos por cela:
. -
Volume de uma esfera atômica:
. -
Volume total das esferas na cela:
. -
Relação entre
e para CCC: , logo
-
Volume da cela unitária:
-
APF para CCC:
- Valor numérico: como
e ,
Passo 4
Cálculo do APF para CFC (FCC) passo a passo.
-
Número de átomos por cela:
. -
Volume total das esferas na cela:
. -
Relação entre
e para CFC: , logo
-
Volume da cela unitária:
-
APF para CFC:
- Valor numérico: como
,
Passo 5
Cálculo do aumento percentual do APF ao passar de CCC para CFC.
Usa-se a fórmula do aumento percentual relativo ao valor inicial (CCC):
Substituindo os valores encontrados:
Também se pode mencionar que a diferença em pontos percentuais é
(ou seja, a APF aumenta cerca de
pontos percentuais), mas o aumento percentual relativo é
.
Passo 6
Explicação didática e geométrica do porquê do aumento do “raio atômico” ou do espaçamento entre átomos quando ocorre a transição CCC
CFC.
Primeiro, clarificar o que se entende por “raio atômico” em sólidos metálicos: normalmente usamos o raio metálico definido a partir da distância entre vizinhos mais próximos,
, onde
é a distância entre centros de átomos vizinhos mais próximos.
Relações úteis (já dadas antes):
- Para CCC: vizinho mais próximo fica ao longo da diagonal do corpo, e a condição de contato dá
, portanto . - Para CFC: vizinho mais próximo fica ao longo da diagonal da face, dando
, portanto .
Do ponto de vista geométrico, duas coisas influenciam o valor numérico do raio metálico observado na transição:
- Mudança de coordenação: CCC tem coordenação
(cada átomo tem 8 vizinhos mais próximos), enquanto CFC tem coordenação . Aumentar o número de vizinhos altera o equilíbrio entre forças de ligação metálica e repulsões entre elétrons/ núcleos; a nova geometria CFC permite que os átomos se reorganizem em posições onde cada átomo tem mais vizinhos próximos, mudando a distância de equilíbrio entre centros atômicos. - Efeito térmico: a transformação em
ocorre em temperatura elevada; a expansão térmica tende a aumentar o parâmetro de rede (e, portanto, as distâncias interatômicas). Assim, além da mera diferença geométrica entre CCC e CFC, a temperatura maior na fase CFC traz um aumento do espaçamento médio entre átomos.
Juntando esses pontos para explicar o “aumento do raio atômico” observado:
- Geometricamente, as fórmulas acima mostram que a relação entre
e muda com a estrutura. Se na prática, no ponto de transformação, o parâmetro de rede na fase CFC resulta num maior do que o da fase anterior (isto é frequentemente o caso experimentalmente porque a combinação de maior coordenação e temperatura faz com que a distância de equilíbrio aumente), então observa-se um aumento do raio metálico. - Em palavras simples e intuitivas: ao passar para CFC cada átomo “ganha” mais vizinhos e o arranjo mais denso (maior APF) exige uma nova posição de equilíbrio das partículas; somando a isso o fato de que a transformação ocorre a alta temperatura (maior agitação térmica e expansão), o resultado prático é um aumento da distância média entre núcleos tomada como raio metálico efetivo.
Resumo físico curto: a mudança CCC→CFC altera a geometria de empacotamento (mais vizinhos, outro modo de contato) e ocorre a alta temperatura — ambos causam ajuste nas distâncias de equilíbrio entre átomos, o que se observa como aumento do raio metálico médio.
Resposta
(a)
(aumento percentual relativo do APF ao passar de CCC para CFC).
(b) O aumento do raio atômico efetivo se explica porque a mudança geométrica CCC→CFC altera a relação entre parâmetro de rede e raio
(contatos ao longo de diagonais diferentes) e aumenta a coordenação de 8 para 12; somado ao efeito da alta temperatura (expansão térmica), resulta em um novo equilíbrio interatômico com maior distância média entre centros (raio metálico efetivo maior).
(b) O aumento do raio atômico efetivo se explica porque a mudança geométrica CCC→CFC altera a relação entre parâmetro de rede