Células de Micrococcus foram rompidas a 5^{\circ} \mathrm{C} em um homogeneizador operado a pressões entre 200 e 550 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Os dados obtidos de liberação de proteína em função do no de passagens pela câmara de lise estão listados na tabela a seguir:
pressão (Kgf/cm2)
200 300 400 500 550
nㅡ de ciclos % proteína liberada
1 5,0 13,5 23,3 36,0 42,0
2 9,5 23,5 40,0 58,5 66,0
3 14,0 33,5 52,5 75,0 83,7
4 18,0 43,0 66,6 82,5 88,5
5 22,0 47,5 73,0 88,5 94,5
6 26,0 55,0 79,5 91,3 --
Estime a pressão necessária para liberar 70% de proteína em apenas 2 ciclos.

Passo 1

O que o enunciado pede: estimar a pressão necessária para que se libere 70\% de proteína em apenas 2 ciclos no homogeneizador.
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} \text{pressão (kgf/cm}^2\text{)} & 200 & 300 & 400 & 500 & 550\\hline \%\\ \text{proteína liberada em }2\\ \text{ciclos} & 9{,}5 & 23{,}5 & 40{,}0 & 58{,}5 & 66{,}0 \end{array}ãí
Dados relevantes listados explicitamente:
P_i=\{200,300,400,500,550\},\qquad y_i=\{9{,}5,\\\ 23{,}5,\\\ 40{,}0,\\\ 58{,}5,\\\ 66{,}0\}.
Objetivo numérico: encontrar P tal que a porcentagem prevista y(P)=70\% para 2 ciclos.

Passo 2

Escolha do método (explicação e justificativa, sem usar termos técnicos obscuros): vamos ajustar uma reta que relacione a porcentagem liberada y com a pressão P usando regressão linear por mínimos quadrados. Por que isto é razoável aqui? Tem-se uma relação aproximadamente crescente entre pressão e liberação; queremos extrapolar um pouco além do último ponto ( 550), e a regressão linear é um método simples, direto e fácil de aplicar à prova sem calculadora avançada. Também é um método básico e didático — se a questão pedisse algo diferente (por exemplo ajuste não linear) eu teria dito, mas com os dados disponíveis esse ajuste linear é apropriado para estimativa.
Vou então supor um modelo linear:
y = a + bP,
onde:
  • y é a porcentagem de proteína liberada ( \%);
  • P é a pressão ( \mathrm{kgf/cm^2});
  • a é o intercepto (valor de y quando P=0);
  • b é a inclinação (quanto y muda por unidade de P).

Passo 3

Fórmulas do ajuste linear por mínimos quadrados (breve “aula”): para n pares (P_i,y_i),
b=\frac{\sum_{i=1}^{n}P_i y_i - n\overline{P}\,\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}P_i^2 - n\overline{P}^{\,2}}, \qquad a=\overline{y}-b\overline{P},
onde
\overline{P}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}P_i,\qquad \overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i.
Essas fórmulas surgem da minimização da soma dos quadrados dos resíduos \sum (y_i - (a+bP_i))^2. Aqui b mede a taxa de variação de y com P e a ajusta o nível.

Passo 4

Calcular as somas necessárias (faço passo a passo com os dados dados):
n=5.
Somatórios:
\sum P_i = 200+300+400+500+550 = 1950.
\sum y_i = 9{,}5+23{,}5+40{,}0+58{,}5+66{,}0 = 197{,}5.
Médias:
\overline{P}=\frac{1950}{5}=390,\qquad \overline{y}=\frac{197{,}5}{5}=39{,}5.
Agora os somatórios mistos e de quadrados (mostro cada produto):
\begin{aligned} \sum P_i y_i &= 200\cdot 9{,}5 + 300\cdot 23{,}5 + 400\cdot 40{,}0 + 500\cdot 58{,}5 + 550\cdot 66{,}0 \\\ &=1900 + 7050 + 16000 + 29250 + 36300 = 90500. \end{aligned}
\sum P_i^2 = 200^2+300^2+400^2+500^2+550^2 = 40000+90000+160000+250000+302500 = 842500.

Passo 5

Calcular a inclinação b com os valores obtidos:
b=\frac{\sum P_i y_i - n\overline{P}\,\overline{y}}{\sum P_i^2 - n\overline{P}^{\,2}} =\frac{90500 - 5\cdot 390\cdot 39{,}5}{842500 - 5\cdot 390^2}.
Calculando as partes:
5\cdot 390\cdot 39{,}5 = 77025, \qquad 90500-77025 = 13475.
5\cdot 390^2 = 5\cdot 152100 = 760500, \qquad 842500-760500 = 82000.
Logo
b=\frac{13475}{82000}\approx 0{,}164329.
Interpretação: para cada aumento de 1\\ \mathrm{kgf/cm^2} na pressão, espera-se um aumento de aproximadamente 0{,}1643\% na proteína liberada (segundo o ajuste linear).

Passo 6

Calcular o intercepto a:
a=\overline{y}-b\overline{P}=39{,}5 - 0{,}164329\cdot 390.
b\overline{P}=\frac{13475}{82000}\cdot 390=\frac{13475\cdot 390}{82000}=\frac{5255250}{82000}=64{,}08841463414634\\ (\text{aprox.}).
a=39{,}5-64{,}08841463414634\approx -24{,}58841463414634.
Portanto o modelo ajustado é (aproximadamente)
y = -24{,}5884 + 0{,}164329\,P.

Passo 7

Agora imponho y=70 e resolvo para P:
70 = -24{,}58841463414634 + 0{,}164329\,P.
Isolando P:
P=\frac{70 + 24{,}58841463414634}{0{,}164329}=\frac{94{,}58841463414634}{0{,}164329}.
Faço a divisão (mostrando raciocínio):
P \approx 575{,}6\\ \mathrm{kgf/cm^2}.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida: o valor encontrado P\approx 575{,}6\\ \mathrm{kgf/cm^2} está um pouco acima do maior dado experimental ( 550), ou seja é uma extrapolação leve. Isso faz sentido pois em 550 obtivemos 66{,}0\% e precisamos chegar a 70\%. O ajuste linear indica que um aumento adicional de cerca de 25{,}6\\ \mathrm{kgf/cm^2} (de 550 para 575{,}6) é suficiente para ganhar os 4\% restantes segundo o modelo.

Resposta

575{,}6\\ \mathrm{kgf/cm^2}

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