Em um teste de laboratório para filtração de uma cultura celular, a seguinte equação foi obtida para descrever a filtração:
\frac{t}{\frac{V}{A}}=K 1\left(\frac{V}{A}\right)+K 2
Onde \mathrm{K} 1=0,18 \mathrm{~min} / \mathrm{cm}^{2} e \mathrm{K} 2=0,017 \mathrm{~min} / \mathrm{cm}.
A suspensão celular apresenta viscosidade de 2 cP e concentração de 13 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. A diferença de pressão utilizada para a filtração foi de 610 mmHg . Determine a resistência específica da torta ( \alpha ) e a resistência do meio ( R_{M} ).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a resistência específica da torta \alpha e a resistência do meio R_{M}.
Informações fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Equação experimental:}\quad \frac{t}{\frac{V}{A}} = K_{1}\left(\frac{V}{A}\right) + K_{2} \\\ &K_{1} = 0,18\\ \mathrm{min/cm^{2}} \\\ &K_{2} = 0,017\\ \mathrm{min/cm} \\\ &\text{Viscosidade:}\quad \mu = 2\\ \mathrm{cP} \\\ &\text{Concentração:}\quad c = 13\\ \mathrm{g/L} \\\ &\text{Diferença de pressão:}\quad \Delta P = 610\\ \mathrm{mmHg} \end{aligned}çãçãçã
Vou usar esses dados sem pedir nada a mais.

Passo 2

Qual é a relação teórica entre a equação experimental e as resistências? Vou mostrar a forma integrada da filtração à pressão constante (não se assuste, é só a conta que dá a linearidade usada no enunciado). A forma integrada é:
t = \frac{\mu \,\alpha\, c}{2\Delta P}\left(\frac{V}{A}\right)^{2} + \frac{\mu R_{M}}{\Delta P}\left(\frac{V}{A}\right).
Dividindo ambos os lados por \frac{V}{A} obtemos exatamente a forma dada experimentalmente:
\frac{t}{\frac{V}{A}} = \underbrace{\frac{\mu \,\alpha\, c}{2\Delta P}}_{\displaystyle K_{1}}\left(\frac{V}{A}\right) + \underbrace{\frac{\mu R_{M}}{\Delta P}}_{\displaystyle K_{2}}.
Explicando cada termo (para você usar na prova): t = tempo acumulado (s ou min), V = volume de filtrado (m³), A = área do filtro (m²), \mu = viscosidade (Pa·s), \alpha = resistência específica da torta (unidade escolhida, veremos), c = concentração de sólidos (kg/m³), \Delta P = pressão (Pa), R_{M} = resistência do meio (m⁻¹). A linearização experimental dá K_{1} e K_{2} que se relacionam com \alpha e R_{M} como acima.

Passo 3

Isolamos \alpha e R_{M} das relações:
K_{1} = \frac{\mu \,\alpha\, c}{2\Delta P} \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{2\Delta P\,K_{1}}{\mu\,c},
K_{2} = \frac{\mu R_{M}}{\Delta P} \quad\Rightarrow\quad R_{M} = \frac{\Delta P\,K_{2}}{\mu}.
Estas fórmulas dizem que, a partir de K_{1} e K_{2} (obtidos do ajuste linear), basta conhecer \mu, c e \Delta P para calcular \alpha e R_{M}.

Passo 4

Agora precisamos usar unidades consistentes (SI). Vou converter todos os dados para unidades SI (sistema métrico padrão) passo a passo.
Viscosidade:
\mu = 2\\ \mathrm{cP} = 2\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} = 0,002\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Concentração:
c = 13\\ \mathrm{g/L} = 13\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
(obs.: 1\\ \mathrm{g/L}=1\\ \mathrm{kg/m^{3}}).
Pressão:
\Delta P = 610\\ \mathrm{mmHg},\quad 1\\ \mathrm{mmHg}=133,322\\ \mathrm{Pa},
\Delta P = 610\cdot133,322\\ \mathrm{Pa} = 81326,42\\ \mathrm{Pa}.
Constantes K_{1} e K_{2} (converter para unidades SI compatíveis com as fórmulas):
  • K_{1} = 0,18\\ \mathrm{min/cm^{2}}. Converter para \mathrm{s/m^{2}}:
K_{1} = 0,18\\ \frac{\mathrm{min}}{\mathrm{cm^{2}}}\cdot\frac{60\\ \mathrm{s}}{1\\ \mathrm{min}}\cdot\frac{1}{(0,01\\ \mathrm{m})^{2}} =0,18\cdot60\cdot10^{4}\\ \mathrm{\frac{s}{m^{2}}} =108000\\ \mathrm{s/m^{2}}.
  • K_{2} = 0,017\\ \mathrm{min/cm}. Converter para \mathrm{s/m}:
K_{2} = 0,017\\ \frac{\mathrm{min}}{\mathrm{cm}}\cdot\frac{60\\ \mathrm{s}}{1\\ \mathrm{min}}\cdot\frac{1}{0,01\\ \mathrm{m}} =0,017\cdot60\cdot100\\ \mathrm{\frac{s}{m}} =102\\ \mathrm{s/m}.
Resumo das quantidades em SI que vamos usar:
\mu=0,002\\ \mathrm{Pa\cdot s},\quad c=13\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad \Delta P=81326,42\\ \mathrm{Pa},
K_{1}=108000\\ \mathrm{s/m^{2}},\quad K_{2}=102\\ \mathrm{s/m}.

Passo 5

Calcule \alpha usando
\alpha = \frac{2\Delta P\,K_{1}}{\mu\,c}.
Substituindo os números:
\alpha = \frac{2\cdot 81326,42\\ \mathrm{Pa}\cdot 108000\\ \mathrm{s/m^{2}}}{0,002\\ \mathrm{Pa\cdot s}\cdot 13\\ \mathrm{kg/m^{3}}}.
Faço as contas em duas etapas:
\text{Numerador} = 2\cdot 81326,42\cdot 108000 = 17\,566\,506\,720 \approx 1{,}756650672\times10^{10}.
\text{Denominador} = 0,002\cdot 13 = 0,026.
Logo
\alpha = \frac{1{,}756650672\times10^{10}}{0,026} \approx 6{,}756348738\times10^{11}\\ \mathrm{m/kg}.
Arredondando de forma prática para prova:
\alpha \approx 6{,}76\times10^{11}\\ \mathrm{m/kg}.

Passo 6

Calcule R_{M} usando
R_{M} = \frac{\Delta P\,K_{2}}{\mu}.
Substituindo:
R_{M} = \frac{81326,42\\ \mathrm{Pa}\cdot 102\\ \mathrm{s/m}}{0,002\\ \mathrm{Pa\cdot s}}.
Calcule:
\text{Numerador} = 81326,42\cdot102 = 8\,295\,294{,}84 \approx 8{,}29529484\times10^{6}.
R_{M} = \frac{8{,}29529484\times10^{6}}{0,002} \approx 4{,}14764742\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Arredondando:
R_{M} \approx 4{,}15\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Observação didática rápida: as ordens de grandeza aqui (valores muito grandes) são comuns em filtração de suspensões finas — a resistência específica da torta pode ficar na faixa de 10^{10} 10^{12}\\ \mathrm{m/kg} dependendo da suspensão.

Resposta

\alpha \approx 6{,}76\times10^{11}\\ \mathrm{m/kg}
R_{M} \approx 4{,}15\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}}

Exercícios relacionados