Centro de Massa para o sistema discreto com
partículas sempre estará localizado sobre uma das partículas do sistema?
Passo 1
O que o enunciado pergunta: se o centro de massa de um sistema discreto com
partículas sempre estará localizado sobre (ou coincidirá com) uma das partículas do sistema.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Há
partículas com massas ) e posições ). - As massas são não-negativas (
) e há pelo menos uma massa positiva, de modo que a massa total é não-nula.
Não se pede um cálculo numérico específico, mas uma conclusão geral sobre a posição do centro de massa em relação às partículas.
Passo 2
Apresentar a fórmula do centro de massa e explicar cada termo.
Fórmula do centro de massa:
onde
Explicação das variáveis:
-
é o vetor posição da -ésima partícula (pode ser em uma, duas ou três dimensões). -
é a massa da -ésima partícula. -
é a massa total do sistema. -
é o vetor posição do centro de massa.
Interpretação intuitiva: o centro de massa é uma média ponderada das posições, onde cada posição
contribui proporcionalmente à sua massa
.
Passo 3
Mostrar que o centro de massa é uma combinação convexa das posições e explicar o que isso implica geometricamente.
Defina os pesos
Então
e
. Reescrevendo,
Uma combinação da forma
com
e
é chamada de combinação convexa. Um resultado geométrico básico: qualquer combinação convexa de pontos
pertence ao envoltório convexo (convex hull) desses pontos — isto é, a região poligonal (no espaço) com vértices nas partículas.
Conclusão dessa propriedade: o centro de massa sempre queda dentro do envoltório convexo das posições das partículas (inclui também as arestas e vértices), mas não precisa coincidir com um vértice (ou seja, com a posição de uma partícula).
Passo 4
Exemplos simples para fixar a ideia (calculemos explicitamente, passo a passo).
Exemplo 1 — caso em que o CM NÃO coincide com uma partícula:
Duas partículas iguais em uma dimensão em e
com
.
Duas partículas iguais em uma dimensão em
Aqui
) não coincide com
nem com
. Então o centro de massa está entre as partículas, não sobre nenhuma delas.
Exemplo 2 — outro caso em que NÃO coincide:
Duas massas em
e
em
.
Duas massas
Novamente
não coincide com
nem com
.
Exemplo 3 — caso em que COINCIDE:
Se todas as massas estiverem em uma mesma posição, por exemplo , então
Se todas as massas estiverem em uma mesma posição, por exemplo
portanto o CM coincide com a posição (qualquer) da partícula — nesse caso todas as partículas estão no mesmo ponto.
Também pode coincidir com uma partícula isolada se as massas estiverem distribuidas de maneira que a média ponderada dê exatamente a posição dessa partícula (isso é uma condição restrita).
Passo 5
Condicionalidade: quando o centro de massa coincide com a posição de uma partícula?
O centro de massa coincide com a posição
de alguma partícula
se, e somente se,
Isso é equivalente a
Essa é uma condição de equilíbrio entre as posições e pesos: os vetores
ponderados pelos
devem anular-se. Na prática, isso só ocorre em casos específicos (simetria, partículas coincidentes, ou massas escolhidas para balancear exatamente), não de modo geral.
Portanto, não existe uma regra geral que garanta coincidência com uma partícula; é uma ocorrência especial.
Passo 6
Resumo e intuição final (estímulo e dica de prova curta para a prova):
- O centro de massa é uma média ponderada das posições:
. - Geometricamente,
pertence ao envoltório convexo das posições das partículas (é uma combinação convexa). Logo, fica dentro da “nuvem” formada pelas partículas, mas em geral não coincide com uma delas. - Para mostrar que NÃO precisa coincidir, basta um contraexemplo simples (duas massas iguais em
e dão CM em ). - Para reconhecer quando coincide, verifique se a média ponderada resulta exatamente na posição de alguma partícula (condição restrita).
Você consegue! Na prova, escreva a fórmula do CM, mostre que é combinação convexa e dê um contraexemplo simples — isso resolve rápido e com segurança.
Resposta
Não — o centro de massa de um sistema discreto nem sempre coincide com a posição de uma das partículas; ele é uma combinação convexa das posições e só coincide com uma partícula em casos especiais (por exemplo, simetria ou todas as massas coincidentes).