Centro de Massa para o sistema discreto com N partículas sempre estará localizado sobre uma das partículas do sistema?

Passo 1

O que o enunciado pergunta: se o centro de massa de um sistema discreto com N partículas sempre estará localizado sobre (ou coincidirá com) uma das partículas do sistema.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • N partículas com massas \(m_1,m_2,\dots,m_N) e posições \(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N).
  • As massas são não-negativas ( m_i\ge 0) e há pelo menos uma massa positiva, de modo que a massa total M é não-nula.
Não se pede um cálculo numérico específico, mas uma conclusão geral sobre a posição do centro de massa em relação às partículas.

Passo 2

Apresentar a fórmula do centro de massa e explicar cada termo.
Fórmula do centro de massa:
\mathbf{R}_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N} m_i\,\mathbf{r}_i,
onde
M=\sum_{i=1}^{N} m_i.
Explicação das variáveis:
  • \mathbf{r}_i é o vetor posição da i-ésima partícula (pode ser em uma, duas ou três dimensões).
  • m_i é a massa da i-ésima partícula.
  • M é a massa total do sistema.
  • \mathbf{R}_{\mathrm{cm}} é o vetor posição do centro de massa.
Interpretação intuitiva: o centro de massa é uma média ponderada das posições, onde cada posição \mathbf{r}_i contribui proporcionalmente à sua massa m_i.

Passo 3

Mostrar que o centro de massa é uma combinação convexa das posições e explicar o que isso implica geometricamente.
Defina os pesos
w_i=\frac{m_i}{M}.
Então w_i\ge 0 e \sum_{i=1}^N w_i=1. Reescrevendo,
\mathbf{R}_{\mathrm{cm}}=\sum_{i=1}^N w_i\,\mathbf{r}_i.
Uma combinação da forma \sum w_i \mathbf{r}_i com w_i\ge 0 e \sum w_i=1 é chamada de combinação convexa. Um resultado geométrico básico: qualquer combinação convexa de pontos \mathbf{r}_1,\dots,\mathbf{r}_N pertence ao envoltório convexo (convex hull) desses pontos — isto é, a região poligonal (no espaço) com vértices nas partículas.
Conclusão dessa propriedade: o centro de massa sempre queda dentro do envoltório convexo das posições das partículas (inclui também as arestas e vértices), mas não precisa coincidir com um vértice (ou seja, com a posição de uma partícula).

Passo 4

Exemplos simples para fixar a ideia (calculemos explicitamente, passo a passo).
Exemplo 1 — caso em que o CM NÃO coincide com uma partícula:
Duas partículas iguais em uma dimensão em x_1=0 e x_2=1 com m_1=m_2=m.
M= m+m=2m,
x_{\mathrm{cm}}=\frac{m\cdot 0 + m\cdot 1}{2m}=\frac{1}{2}.
Aqui \(x_{\mathrm{cm}}=\tfrac{1}{2}) não coincide com 0 nem com 1. Então o centro de massa está entre as partículas, não sobre nenhuma delas.
Exemplo 2 — outro caso em que NÃO coincide:
Duas massas m_1=3 em x_1=0 e m_2=1 em x_2=1.
M=3+1=4,
x_{\mathrm{cm}}=\frac{3\cdot 0 + 1\cdot 1}{4}=\frac{1}{4}.
Novamente x_{\mathrm{cm}}=\tfrac{1}{4} não coincide com 0 nem com 1.
Exemplo 3 — caso em que COINCIDE:
Se todas as massas estiverem em uma mesma posição, por exemplo \mathbf{r}_1=\mathbf{r}_2=\dots=\mathbf{r}_N=\mathbf{r}_0, então
\mathbf{R}_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\sum m_i \mathbf{r}_0=\mathbf{r}_0,
portanto o CM coincide com a posição (qualquer) da partícula — nesse caso todas as partículas estão no mesmo ponto.
Também pode coincidir com uma partícula isolada se as massas estiverem distribuidas de maneira que a média ponderada dê exatamente a posição dessa partícula (isso é uma condição restrita).

Passo 5

Condicionalidade: quando o centro de massa coincide com a posição de uma partícula?
O centro de massa coincide com a posição \mathbf{r}_k de alguma partícula k se, e somente se,
\mathbf{r}_k=\sum_{i=1}^N w_i\,\mathbf{r}_i.
Isso é equivalente a
\sum_{i\neq k} w_i(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k)=\mathbf{0}.
Essa é uma condição de equilíbrio entre as posições e pesos: os vetores \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k ponderados pelos w_i devem anular-se. Na prática, isso só ocorre em casos específicos (simetria, partículas coincidentes, ou massas escolhidas para balancear exatamente), não de modo geral.
Portanto, não existe uma regra geral que garanta coincidência com uma partícula; é uma ocorrência especial.

Passo 6

Resumo e intuição final (estímulo e dica de prova curta para a prova):
  • O centro de massa é uma média ponderada das posições: \mathbf{R}_{\mathrm{cm}}=\tfrac{1}{M}\sum m_i\mathbf{r}_i.
  • Geometricamente, \mathbf{R}_{\mathrm{cm}} pertence ao envoltório convexo das posições das partículas (é uma combinação convexa). Logo, fica dentro da “nuvem” formada pelas partículas, mas em geral não coincide com uma delas.
  • Para mostrar que NÃO precisa coincidir, basta um contraexemplo simples (duas massas iguais em 0 e 1 dão CM em 1/2).
  • Para reconhecer quando coincide, verifique se a média ponderada resulta exatamente na posição de alguma partícula (condição restrita).
Você consegue! Na prova, escreva a fórmula do CM, mostre que é combinação convexa e dê um contraexemplo simples — isso resolve rápido e com segurança.

Resposta

Não — o centro de massa de um sistema discreto nem sempre coincide com a posição de uma das partículas; ele é uma combinação convexa das posições e só coincide com uma partícula em casos especiais (por exemplo, simetria ou todas as massas coincidentes).

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