1. Centroide Encontre o centroide do sólido delimitado superiormente pela esfera \rho=a e inferiormente pelo cone \varphi=\pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede o centroide do sólido limitado pela esfera \rho=a por cima e pelo cone \varphi=\pi/4 por baixo. O conteúdo aqui é usar coordenadas esféricas para calcular volume e momento em z, depois obter \bar z pela definição
\bar z = \frac{1}{V}\,\int_{E} z\,dV,
sabendo que por simetria \bar x=\bar y=0.

Passo 2

Em coordenadas esféricas o sólido E é dado por
0\le \rho\le a,\quad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{4},\quad 0\le \theta\le 2\pi.
Nessas coordenadas temos
dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta \quad\text{e}\quad z=\rho\cos\varphi.

Passo 3

Calcular o volume V:
V=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{a}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =2\pi\;\Bigl[\tfrac{\rho^3}{3}\Bigr]_{0}^{a}\;\Bigl[-\cos\varphi\Bigr]_{0}^{\pi/4} =2\pi\;\frac{a^3}{3}\;(1-\cos\tfrac{\pi}{4}) =2\pi\,\frac{a^3}{3}\;\bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr).

Passo 4

Calcular o momento em z:
M_z=\int_{E}z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{a}(\rho\cos\varphi)\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =2\pi\;\Bigl[\tfrac{\rho^4}{4}\Bigr]_{0}^{a}\;\Bigl[\tfrac{\sin^2\varphi}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/4} =2\pi\;\frac{a^4}{4}\;\frac{1}{2}\;\frac{1}{2} =\frac{\pi\,a^4}{8}.

Passo 5

Obter \bar z:
\bar z=\frac{M_z}{V} =\frac{\frac{\pi\,a^4}{8}}{2\pi\,\frac{a^3}{3}\,\bigl(1-\frac{\sqrt2}{2}\bigr)} =\frac{3a}{16\,(1-\tfrac{\sqrt2}{2})} =\frac{3a\,(2+\sqrt2)}{16}.

Resposta

\displaystyle (\bar x,\bar y,\bar z)=(0,0,\frac{3a\,(2+\sqrt2)}{16})

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