1. Densidade variável Um sólido é delimitado acima pelo paraboloide z=r^{2}, abaixo pelo plano z=0 e dos lados pelo cilindro r=1. Encontre o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo z, se a densidade for

Passo 1

O enunciado descreve um sólido em coordenadas cilíndricas, limitado por
0 \le z \le r^2,\quad 0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,
e pede o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo z para uma densidade variável \rho(r,z).

Passo 2

Para calcular centro de massa e momento de inércia precisamos da expressão explícita de \rho(r,z). Como essa função de densidade não foi fornecida no enunciado, não há como montar as integrais necessárias:
– O centro de massa envolve integrais do tipo
\bar z = \frac{1}{M}\iiint z\,\rho(r,z)\,r\,dr\,d\theta\,dz,
– O momento de inércia em torno de z envolve
I_z = \iiint r^2\,\rho(r,z)\,r\,dr\,d\theta\,dz.
Sem \rho(r,z) não podemos prosseguir.

Resposta

Não é possível resolver porque a função densidade \rho(r,z) não foi especificada.

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