Uma certa cultura de bactérias, desenvolvendo-se sob condiçōes ideais, duplica sui biomassa a cada 20 minutos.
Encontre a expressāo M(t) para a biomassa da cultura depois de t minutos, sabendo que a biomassa inicial é \mathrm{M}(0)=3 unidades de massa.
Esboce o gráfico de \mathrm{M}(\mathrm{t}).

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas bem claras.
  • Informação dada:
    • Biomassa inicial: M(0)=3 (unidades de massa).
    • A cultura duplica sua biomassa a cada 20 minutos (ou seja, após 20 minutos a biomassa é o dobro da que havia antes).
  • O que o enunciado pede:
    1. Encontrar a expressão M(t) para a biomassa depois de t minutos.
    2. Esboçar o gráfico de M(t).

Passo 2

Entender como funciona um processo de “duplicação” repetida.
Quando algo duplica a cada T minutos, isso significa que a cada intervalo de tempo T multiplica-se por 2. Se a cada 20 minutos duplica, então após um número inteiro n desses intervalos a massa será a massa inicial multiplicada por 2^n.
Se t é o tempo em minutos e cada intervalo tem comprimento 20 minutos, o número de duplicações em tempo t é n=\dfrac{t}{20}. Essa razão funciona também quando t não é múltiplo de 20: interpretamos 2^{t/20} como “crescimento exponencial contínuo de base 2 com tempo de dobra 20 minutos”.

Passo 3

Construir a fórmula usando o raciocínio do passo anterior.
  • A massa inicial é M(0)=3.
  • Após n duplicações a massa é 3\cdot 2^{n}.
  • Substituindo n=\dfrac{t}{20} obtemos a expressão para qualquer t:
M(t)=3\cdot 2^{\tfrac{t}{20}}.
Essa é a forma básica e direta pedido pelo enunciado.

Passo 4

Explicar outra forma equivalente (útil em muitas provas): escrever o crescimento exponencial com a base e.
Qualquer exponencial a^{x} pode ser escrita como e^{kx}, onde k=\ln(a). Aplicando isso:
2^{\tfrac{t}{20}}=e^{\ln\!\left(2^{\tfrac{t}{20}}\right)}=e^{\tfrac{t}{20}\ln 2}.
Logo uma forma alternativa é
M(t)=3\,e^{\left(\tfrac{\ln 2}{20}\right)t}.
Aqui o expoente é linear em t; a constante k=\dfrac{\ln 2}{20} é a taxa de crescimento contínua por minuto.

Passo 5

Calcular valores numéricos importantes para conferir e para usar no esboço do gráfico.
  • Verificação em t=0:
M(0)=3\cdot 2^{0}=3.
  • Em t=20 minutos (uma dobra):
M(20)=3\cdot 2^{\tfrac{20}{20}}=3\cdot 2=6.
  • Em t=40 minutos (duas dobras):
M(40)=3\cdot 2^{\tfrac{40}{20}}=3\cdot 2^{2}=3\cdot 4 = 12.
  • Em t=60 minutos (três dobras):
M(60)=3\cdot 2^{\tfrac{60}{20}}=3\cdot 2^{3}=3\cdot 8 = 24.
  • Exemplo com tempo não múltiplo de 20: em t=10 minutos,
M(10)=3\cdot 2^{\tfrac{10}{20}}=3\cdot 2^{1/2}=3\sqrt{2}\approx 4,243.
  • A taxa contínua k (para a forma 3e^{kt}) é
k=\frac{\ln 2}{20}\approx 0,03466\\ \text{por minuto}.

Passo 6

Interpretação e verificação: por que a fórmula está correta.
  • A expressão M(t)=3\cdot 2^{t/20} satisfaz M(0)=3 e produz M(20)=6, M(40)=12 etc., ou seja, duplica a cada 20 minutos, exatamente o enunciado.
  • A forma M(t)=3e^{kt} com k=\ln 2/20 é equivalente e mostra que o crescimento é exponencial contínuo com taxa k.

Passo 7

Como esboçar o gráfico de M(t) (passo a passo prático para fazer rápido na prova).
  • Trace um sistema de eixos: eixo horizontal t (minutos) e eixo vertical M (unidades de massa).
  • Marque o ponto inicial: \bigl(0,\,3\bigr).
  • Marque pontos de referência que já calculamos:
    • \bigl(20,\,6\bigr),
    • \bigl(40,\,12\bigr),
    • \bigl(60,\,24\bigr).
  • Ligue esses pontos com uma curva suave, crescente e cada vez mais íngreme (curva côncava para cima). Essa é a característica de uma exponencial crescente.
  • Anote que M(t)>0 para todo t; a curva nunca cruza o eixo t (eixo x).
  • Se quiser mais detalhe, adicione o ponto \bigl(10,\,3\sqrt{2}\bigr)\approx\bigl(10,\,4,243\bigr) entre 0 e 20 para mostrar que a curva cresce mesmo antes de completar um intervalo de dobra.
Dica prática: desenhe a curva passando pelos pontos indicados; não tente uma reta entre pontos — o correto é uma curva que sobe mais e mais rápido.

Passo 8

Resumo pedagógico rápido (ânimo!): a ideia é que “duplicar a cada 20 minutos” se traduz diretamente em potência de 2 com expoente igual a \dfrac{t}{20}. Use a forma 3\cdot 2^{t/20} quando quiser ver o efeito de dobra, e a forma 3e^{(\ln 2/20)t} quando precisar trabalhar com derivadas ou taxas contínuas.

Resposta

M(t)=3\cdot 2^{\tfrac{t}{20}}
Alternativamente: M(t)=3\,e^{\left(\tfrac{\ln 2}{20}\right)t}.

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