Uma certa cultura de bactérias, desenvolvendo-se sob condiçōes ideais, duplica sui biomassa a cada 20 minutos.
Encontre a expressāo
para a biomassa da cultura depois de
minutos, sabendo que a biomassa inicial é
unidades de massa.
Esboce o gráfico de
.
Encontre a expressāo
Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas bem claras.
-
Informação dada:
- Biomassa inicial:
(unidades de massa). - A cultura duplica sua biomassa a cada
minutos (ou seja, após minutos a biomassa é o dobro da que havia antes).
- Biomassa inicial:
-
O que o enunciado pede:
- Encontrar a expressão
para a biomassa depois de minutos. - Esboçar o gráfico de
.
- Encontrar a expressão
Passo 2
Entender como funciona um processo de “duplicação” repetida.
Quando algo duplica a cada
minutos, isso significa que a cada intervalo de tempo
multiplica-se por
. Se a cada
minutos duplica, então após um número inteiro
desses intervalos a massa será a massa inicial multiplicada por
.
Se
é o tempo em minutos e cada intervalo tem comprimento
minutos, o número de duplicações em tempo
é
. Essa razão funciona também quando
não é múltiplo de
: interpretamos
como “crescimento exponencial contínuo de base
com tempo de dobra
minutos”.
Passo 3
Construir a fórmula usando o raciocínio do passo anterior.
- A massa inicial é
. - Após
duplicações a massa é . - Substituindo
obtemos a expressão para qualquer :
Essa é a forma básica e direta pedido pelo enunciado.
Passo 4
Explicar outra forma equivalente (útil em muitas provas): escrever o crescimento exponencial com a base
.
Qualquer exponencial
pode ser escrita como
, onde
. Aplicando isso:
Logo uma forma alternativa é
Aqui o expoente é linear em
; a constante
é a taxa de crescimento contínua por minuto.
Passo 5
Calcular valores numéricos importantes para conferir e para usar no esboço do gráfico.
- Verificação em
:
- Em
minutos (uma dobra):
- Em
minutos (duas dobras):
- Em
minutos (três dobras):
- Exemplo com tempo não múltiplo de
: em minutos,
- A taxa contínua
(para a forma ) é
Passo 6
Interpretação e verificação: por que a fórmula está correta.
- A expressão
satisfaz e produz , etc., ou seja, duplica a cada minutos, exatamente o enunciado. - A forma
com é equivalente e mostra que o crescimento é exponencial contínuo com taxa .
Passo 7
Como esboçar o gráfico de
(passo a passo prático para fazer rápido na prova).
- Trace um sistema de eixos: eixo horizontal
(minutos) e eixo vertical (unidades de massa). - Marque o ponto inicial:
. - Marque pontos de referência que já calculamos:
-
, -
, -
.
-
- Ligue esses pontos com uma curva suave, crescente e cada vez mais íngreme (curva côncava para cima). Essa é a característica de uma exponencial crescente.
- Anote que
para todo ; a curva nunca cruza o eixo (eixo ). - Se quiser mais detalhe, adicione o ponto
entre e para mostrar que a curva cresce mesmo antes de completar um intervalo de dobra.
Dica prática: desenhe a curva passando pelos pontos indicados; não tente uma reta entre pontos — o correto é uma curva que sobe mais e mais rápido.
Passo 8
Resumo pedagógico rápido (ânimo!): a ideia é que “duplicar a cada 20 minutos” se traduz diretamente em potência de
com expoente igual a
. Use a forma
quando quiser ver o efeito de dobra, e a forma
quando precisar trabalhar com derivadas ou taxas contínuas.
Resposta
Alternativamente: