Q10: A vazão de água, V^{\prime}(t), que entra em um reservatório, em m^{3} / m i n, varia de forma linear com o tempo e
V^{\prime}(1)=4 \text { e } V^{\prime}(3)=8
Sabe-se também que o volume de água em t=1 é
V(1)=8 m^{3}. Determine o volume de água em t=4 :
(A) 33 m^{3}
(B) 29 \mathrm{~m}^{3}
(C) 30 \mathrm{~m}^{3}
(D) 31 \mathrm{~m}^{3}
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume de água em t=4. As informações dadas são:
  • A vazão que entra no reservatório é V'(t) (unidade: \mathrm{m}^3/\mathrm{min}) e varia linearmente com o tempo.
  • Valores da vazão: V'(1)=4 e V'(3)=8.
  • Valor do volume em t=1: V(1)=8\\ \mathrm{m}^3.

Passo 2

Modelagem da vazão: como V'(t)\) varia linearmente, escrevemos a forma geral de uma função linear: \[V'(t)=a t + b,
onde a e b são constantes que precisamos determinar. Usamos os dois pontos fornecidos:
\begin{cases} V'(1)=a\cdot1 + b = a + b = 4,\\[4pt] V'(3)=a\cdot3 + b = 3a + b = 8. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar b\]: \[(3a+b)-(a+b)=8-4 \quad\Rightarrow\quad 2a = 4 \quad\Rightarrow\quad a=2.\] Agora achamos \(b a partir de a+b=4:
b = 4 - a = 4 - 2 = 2.
Portanto
V'(t)=2t+2.]

Passo 3

Relacionando vazão e volume: por definição, V'(t) é a derivada do volume V(t). Para obter V(t) a partir de V'(t) fazemos a integral. Lembrete rápido de integrais úteis:
\int t^n\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C,\qquad \int c\,dt = c t + C,
onde C é a constante de integração.
Integramos termo a termo:
V(t)=\int V'(t)\,dt = \int (2t+2)\,dt = \int 2t\,dt + \int 2\,dt.
Calcule cada integral:
\int 2t\,dt = 2\cdot\frac{t^{2}}{2}=t^{2}, \qquad \int 2\,dt = 2t.
Somando e incluindo a constante C,
V(t)=t^{2}+2t + C.

Passo 4

Determinar a constante C usando a condição inicial V(1)=8:
V(1)=1^{2}+2\cdot1 + C = 1+2+C = 3 + C = 8 \quad\Rightarrow\quad C = 5.
Logo a expressão completa do volume é
V(t)=t^{2}+2t+5.

Passo 5

Calcular o volume em t=4:
V(4)=4^{2}+2\cdot4+5 = 16+8+5 = 29.
A unidade é \mathrm{m}^3. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (B).

Resposta

29\\ \mathrm{m}^3 (B)

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