Uma certa quantidade de gás monoatômico, tal que N k B=0.1 \mathrm{~J} / \mathrm{K}, encontra-se em um recipiente com volume de 3 l e pressão de 30000 Pa . Este recipiente conecta-se a outro, de volume 12 \ell e sob vácuo, por meio de uma válvula inicialmente fechada. A válvula é aberta e aguarda-se o sistema entrar em equilíbrio, quando o gás ocupa uniformemente ambos os recipientes.
(a) Qual é o valor da pressão final do gás?
(b) Qual foi a variação de entropia neste processo de expansão?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) a pressão final do gás após a válvula ser aberta e o gás ocupar uniformemente os dois recipientes;
(b) a variação de entropia do gás nesse processo.
Dados fornecidos:
N k_B = 0{,}1\\ \mathrm{J/K} (produto do número de partículas pelo constante de Boltzmann),
V_1 = 3\\ \mathrm{L} = 3\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 (volume do primeiro recipiente),
P_i = 30000\\ \mathrm{Pa} (pressão inicial no primeiro recipiente),
V_2 = 12\\ \mathrm{L} = 12\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 (volume do segundo recipiente, inicialmente evacuado).
Volume final disponível para o gás: V_f = V_1 + V_2.

Passo 2

Qual é a natureza do processo? Quando a válvula é aberta o gás expande para o volume do segundo recipiente que está em vácuo. Essa é uma expansão livre (Joule) para o vácuo. Características importantes:
  • Não há troca de calor com o ambiente (sistema isolado do ponto de vista térmico na descrição do problema).
  • O gás não realiza trabalho contra pressão externa (expansão contra vácuo: W=0).
    Pela primeira lei da termodinâmica,
\Delta U = Q - W.
Como Q=0 e W=0, segue que \Delta U=0. Para um gás ideal monoatômico a energia interna depende só da temperatura:
U = \tfrac{3}{2}N k_B T.
Portanto \Delta U=0 implica que a temperatura permanece constante: T_f = T_i.

Passo 3

Usamos a equação de estado do gás ideal para achar a temperatura inicial. A equação é
P V = N k_B T,
onde P é a pressão, V o volume ocupado pelo gás, N k_B o produto dado e T a temperatura absoluta. Aplicando ao estado inicial (todo o gás está em V_1):
T_i = \frac{P_i V_1}{N k_B}.
Agora calculamos numericamente:
P_i V_1 = 30000\\ \mathrm{Pa}\times 3\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 = 90\\ \mathrm{J}.
Logo
T_i = \frac{90}{0{,}1}\\ \mathrm{K} = 900\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Como T_f = T_i, a pressão final P_f quando o gás ocupa V_f é dada por
P_f = \frac{N k_B T_f}{V_f} = \frac{P_i V_1}{V_f}.
Calculemos V_f:
V_f = 3\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 + 12\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 = 15\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 = 1{,}5\times 10^{-2}\\ \mathrm{m}^3.
A razão V_1/V_f vale
\frac{V_1}{V_f} = \frac{3\times 10^{-3}}{15\times 10^{-3}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0{,}2.
Portanto
P_f = P_i\cdot 0{,}2 = 30000\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}2 = 6000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Agora a entropia. Embora a expansão livre seja um processo irreversível, a entropia é função de estado; assim podemos calcular a variação de entropia \Delta S entre os estados inicial e final por meio de um processo reversível que leve de um ao outro. Como a temperatura não mudou ( T constante), é natural usar um processo isotérmico reversível do volume V_1 para V_f. Para um processo isotérmico reversível de um gás ideal:
\Delta S = \int_{i}^{f} \frac{dQ_{\mathrm{rev}}}{T}.
Num processo isotérmico reversível de gás ideal, dQ_{\mathrm{rev}} = P\,dV e P = \dfrac{N k_B T}{V}. Substituindo e integrando:
\Delta S = \int_{V_1}^{V_f} \frac{N k_B T}{V}\cdot\frac{dV}{T} = N k_B \int_{V_1}^{V_f} \frac{dV}{V} = N k_B \ln\!\left(\frac{V_f}{V_1}\right).
Aqui N k_B é o valor numérico dado no enunciado.

Passo 6

Calculemos numericamente:
\frac{V_f}{V_1} = \frac{15\times 10^{-3}}{3\times 10^{-3}} = 5.
Portanto
\Delta S = N k_B \ln(5) = 0{,}1 \times \ln(5)\\ \mathrm{J/K}.
Usando \ln(5)\approx 1{,}6094379,
\Delta S \approx 0{,}1 \times 1{,}6094379\\ \mathrm{J/K} \approx 0{,}16094\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando razoavelmente: \Delta S \approx 0{,}161\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (para você lembrar na prova): a expansão é livre -> Q=0,W=0 -> T constante; pressão final obtida por conservação da temperatura e equação dos gases ideais; variação de entropia calculada por um caminho reversível isotérmico entre os mesmos estados, resultando em N k_B\ln(V_f/V_1). Você está indo bem — respira fundo e revisa esses passos que é praticamente a solução padrão desse tipo de questão.

Resposta

P_f = 6000\\ \mathrm{Pa}
\Delta S = 0{,}16094\\ \mathrm{J/K}

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