Uma certa quantidade de gás monoatômico, tal que
, encontra-se em um recipiente com volume de
e pressão de 30000 Pa . Este recipiente conecta-se a outro, de volume
e sob vácuo, por meio de uma válvula inicialmente fechada. A válvula é aberta e aguarda-se o sistema entrar em equilíbrio, quando o gás ocupa uniformemente ambos os recipientes.
(a) Qual é o valor da pressão final do gás?
(b) Qual foi a variação de entropia neste processo de expansão?
(a) Qual é o valor da pressão final do gás?
(b) Qual foi a variação de entropia neste processo de expansão?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) a pressão final do gás após a válvula ser aberta e o gás ocupar uniformemente os dois recipientes;
(b) a variação de entropia do gás nesse processo.
(a) a pressão final do gás após a válvula ser aberta e o gás ocupar uniformemente os dois recipientes;
(b) a variação de entropia do gás nesse processo.
Dados fornecidos:
(produto do número de partículas pelo constante de Boltzmann),
(volume do primeiro recipiente),
(pressão inicial no primeiro recipiente),
(volume do segundo recipiente, inicialmente evacuado).
Volume final disponível para o gás: .
Volume final disponível para o gás:
Passo 2
Qual é a natureza do processo? Quando a válvula é aberta o gás expande para o volume do segundo recipiente que está em vácuo. Essa é uma expansão livre (Joule) para o vácuo. Características importantes:
- Não há troca de calor com o ambiente (sistema isolado do ponto de vista térmico na descrição do problema).
- O gás não realiza trabalho contra pressão externa (expansão contra vácuo:
).
Pela primeira lei da termodinâmica,
Como
e
, segue que
. Para um gás ideal monoatômico a energia interna depende só da temperatura:
Portanto
implica que a temperatura permanece constante:
.
Passo 3
Usamos a equação de estado do gás ideal para achar a temperatura inicial. A equação é
onde
é a pressão,
o volume ocupado pelo gás,
o produto dado e
a temperatura absoluta. Aplicando ao estado inicial (todo o gás está em
):
Agora calculamos numericamente:
Logo
Passo 4
Como
, a pressão final
quando o gás ocupa
é dada por
Calculemos
:
A razão
vale
Portanto
Passo 5
Agora a entropia. Embora a expansão livre seja um processo irreversível, a entropia é função de estado; assim podemos calcular a variação de entropia
entre os estados inicial e final por meio de um processo reversível que leve de um ao outro. Como a temperatura não mudou (
constante), é natural usar um processo isotérmico reversível do volume
para
. Para um processo isotérmico reversível de um gás ideal:
Num processo isotérmico reversível de gás ideal,
e
. Substituindo e integrando:
Aqui
é o valor numérico dado no enunciado.
Passo 6
Calculemos numericamente:
Portanto
Usando
,
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 7
Resumo rápido do raciocínio (para você lembrar na prova): a expansão é livre ->
->
constante; pressão final obtida por conservação da temperatura e equação dos gases ideais; variação de entropia calculada por um caminho reversível isotérmico entre os mesmos estados, resultando em
. Você está indo bem — respira fundo e revisa esses passos que é praticamente a solução padrão desse tipo de questão.