Uma panela de ferro é mantida à temperatura constante de 120 \circ \mathrm{C} por meio de um aquecedor industrial. Pega-se uma colher de sopa contendo uma quantidade de água, de massa m a=15 g, à temperatura 27 \circ \mathrm{C}, e despeja-se a água na panela. O calor específico da água é c a=4.186 \mathrm{~J} / \mathrm{g} \circ \mathrm{C} e seu calor latente de vaporização é L a =2260 \mathrm{~J} / \mathrm{g}.
(a) Determine a variação de entropia da água até a sua vaporização completa.
(b) Determine a variação de entropia da panela durante o processo.
(c) Determine a variação de entropia do Universo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Temperatura constante da panela: 120^\circ\mathrm{C}.
  • Massa da água: m_a=15\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial da água: 27^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico da água: c_a=4{,}186\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}.
  • Calor latente de vaporização da água: L_a=2260\\ \mathrm{J/g}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a variação de entropia da água até sua vaporização completa.
    (b) Calcular a variação de entropia da panela durante o processo.
    (c) Calcular a variação de entropia do Universo (sistema água + panela).

Passo 2

Conceitos e método que vamos usar (explicado bem devagarinho):
  • Entropia é uma função de estado; sua variação entre dois estados é dada por
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversiblemente à temperatura T.
  • Mesmo que o processo real seja irreversível ao se transferir calor de uma panela a 120^\circ\mathrm{C} para água que ferve a 100^\circ\mathrm{C}, podemos calcular a variação de entropia da água usando um caminho reversível (porque S é função de estado). Para aquecimento de T_i a T_f com calor específico constante:
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m c\, dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
onde T deve estar em kelvin.
  • Para vaporização a temperatura constante T_{\text{vap}}:
\Delta S_{\text{vap}}=\frac{Q_{\text{vap}}}{T_{\text{vap}}}=\frac{mL}{T_{\text{vap}}}.
  • Para a panela (reservatório grande a temperatura constante T_{\text{panela}}), a variação de entropia é \Delta S_{\text{panela}}=\dfrac{Q_{\text{panela}}}{T_{\text{panela}}}, com Q_{\text{panela}} o calor recebido pela panela (será negativo porque a panela perde calor).

Passo 3

Converter temperaturas para kelvin (lembrando que T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15):
T_i = 27^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K}, \quad T_{\text{vap}} = 100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}, \quad T_{\text{panela}} = 120^\circ\mathrm{C}=393{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Variação de entropia da água ao aquecer de 27^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C}:
  • Usamos \Delta S_{\text{aquec}} = m_a c_a \ln\!\left(\dfrac{T_{\text{vap}}}{T_i}\right).
  • Substituindo e explicando cada termo:
    • m_a=15\\ \mathrm{g} (massa da água),
    • c_a=4{,}186\\ \mathrm{J/g\,^\circ C} (calor específico),
    • T_{\text{vap}}=373{,}15\\ \mathrm{K},
    • T_i=300{,}15\\ \mathrm{K}.
\Delta S_{\text{aquec}} = 15\cdot 4{,}186 \cdot \ln\!\left(\frac{373{,}15}{300{,}15}\right).
  • Agora computamos passo a passo:
    • 15\cdot 4{,}186 = 62{,}79\\ \mathrm{J/K}.
    • \dfrac{373{,}15}{300{,}15}\approx 1{,}24334, \ln(1{,}24334)\approx 0{,}21892.
    • Logo \Delta S_{\text{aquec}} = 62{,}79\times 0{,}21892 \approx 13{,}75\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Variação de entropia da água durante a vaporização (à 100^\circ\mathrm{C}):
  • Fórmula: \Delta S_{\text{vap}} = \dfrac{m_a L_a}{T_{\text{vap}}}.
  • Substituindo:
    • m_a L_a = 15\cdot 2260 = 33\,900\\ \mathrm{J}.
\Delta S_{\text{vap}} = \frac{33\,900}{373{,}15}\\ \mathrm{J/K} \approx 90{,}86\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Somar as contribuições para obter a variação total de entropia da água:
\Delta S_{\text{água}} = \Delta S_{\text{aquec}} + \Delta S_{\text{vap}} \approx 13{,}75 + 90{,}86 = 104{,}61\\ \mathrm{J/K}.á
(Arredondaremos convenientemente na resposta final.)

Passo 7

Calcular o calor total absorvido pela água (que é o calor perdido pela panela):
  • Calor para aquecer: Q_{\text{aquec}} = m_a c_a (T_{\text{vap}}-T_i).
Q_{\text{aquec}} = 15\cdot 4{,}186\cdot(100-27)=62{,}79\cdot 73 \approx 4\,583{,}7\\ \mathrm{J}.
  • Calor de vaporização: Q_{\text{vap}} = m_a L_a = 33\,900\\ \mathrm{J}.
  • Calor total absorvido pela água:
Q_{\text{água}} = Q_{\text{aquec}} + Q_{\text{vap}} \approx 4\,583{,}7 + 33\,900 = 38\,483{,}7\\ \mathrm{J}.á
  • Portanto o calor recebido pela panela é Q_{\text{panela}} = -38\,483{,}7\\ \mathrm{J} (perde calor).

Passo 8

Variação de entropia da panela (reservatório a T_{\text{panela}}=393{,}15\\ \mathrm{K}, constante):
  • Usamos \Delta S_{\text{panela}} = \dfrac{Q_{\text{panela}}}{T_{\text{panela}}}.
\Delta S_{\text{panela}} = \frac{-38\,483{,}7}{393{,}15}\\ \mathrm{J/K} \approx -97{,}91\\ \mathrm{J/K}.

Passo 9

Variação total de entropia do Universo (soma das duas partes):
\Delta S_{\text{Universo}} = \Delta S_{\text{água}} + \Delta S_{\text{panela}} \approx 104{,}61 - 97{,}91 = 6{,}70\\ \mathrm{J/K}.á
Comentário final rápido: o resultado é positivo, conforme a Segunda Lei (processo global irreversível aumenta entropia). Dá para ver que a maior contribuição vem da vaporização da água — transformar líquido em vapor consome muito calor a uma temperatura menor do que a do reservatório, produzindo ganho líquido de entropia.

Resposta

(a) \Delta S_{\text{água}} = 104{,}6\\ \mathrm{J/K}á\n
(b) \Delta S_{\text{panela}} = -97{,}9\\ \mathrm{J/K}\n
(c) \Delta S_{\text{Universo}} = 6{,}7\\ \mathrm{J/K}

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