Uma certa reação apresenta E_{a}=146 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}. Se a constante de velocidade for de 4,25 \times 10^{-4} \mathrm{~s}^{-1} a 25,0^{\circ} \mathrm{C}, qual será seu valor a 100^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a constante de velocidade a 100^\circ\mathrm{C}:
  • Energia de ativação: \displaystyle E_{a}=146\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
  • Constante de velocidade a 25,0^\circ\mathrm{C}: \displaystyle k_{1}=4,25\times10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Temperatura inicial: \displaystyle T_{1}=25,0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: \displaystyle T_{2}=100^\circ\mathrm{C}.
Pergunta: qual será \displaystyle k_{2} (a constante de velocidade) a \displaystyle 100^\circ\mathrm{C} ?

Passo 2

Fórmula que vamos usar (arranjo da equação de Arrhenius em forma de razão para eliminar o fator pré-exponencial):
\ln\!\left(\frac{k_{2}}{k_{1}}\right) = -\frac{E_{a}}{R}\!\left(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\right)
Explicando cada símbolo:
  • \displaystyle k_{1} e \displaystyle k_{2} são as constantes de velocidade nas temperaturas \displaystyle T_{1} e \displaystyle T_{2}, respectivamente.
  • \displaystyle E_{a} é a energia de ativação (em J mol^{-1} nas contas).
  • \displaystyle R é a constante dos gases: \displaystyle R=8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • \displaystyle T_{1} e \displaystyle T_{2} são as temperaturas absolutas em kelvin ( \mathrm{K}).
    Essa forma permite calcular a variação de \displaystyle k entre duas temperaturas sem saber o fator pré-exponencial A.

Passo 3

Converter unidades para usar na fórmula:
  • Converter \displaystyle E_{a} para \mathrm{J\\ mol^{-1}}:
\displaystyle E_{a}=146\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} = 146000\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
  • Converter temperaturas para kelvin:
\displaystyle T_{1}=25,0^\circ\mathrm{C}=298,15\\ \mathrm{K},
\displaystyle T_{2}=100^\circ\mathrm{C}=373,15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a diferença \displaystyle \frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}. É prático usar a forma com numerador comum:
\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}T_{2}}.
Substituindo:
T_{1}-T_{2}=298,15-373,15=-75,00\\ \mathrm{K},
T_{1}T_{2}=298,15\times373,15=111254,6725\\ \mathrm{K^{2}}.
Logo
\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}=\frac{-75,00}{111254,6725}=-0,000673953\\ (\mathrm{K^{-1}}).

Passo 5

Calcular o fator \displaystyle \frac{E_{a}}{R}:
\frac{E_{a}}{R}=\frac{146000\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}}{8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}}=17560,7409\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular o lado direito da equação (o logaritmo natural):
\ln\!\left(\frac{k_{2}}{k_{1}}\right) = -\frac{E_{a}}{R}\!\left(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\right) = -\bigl(17560,7409\bigr)\times\bigl(-0,000673953\bigr).
Multiplicando:
\ln\!\left(\frac{k_{2}}{k_{1}}\right)=+11,8352969\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Desfazer o logaritmo para obter \displaystyle \frac{k_{2}}{k_{1}}:
\frac{k_{2}}{k_{1}}=\exp\!\bigl(11,8352969\bigr)\approx1,3800\times10^{5}.
Portanto
k_{2}=k_{1}\times\exp\!\bigl(11,8352969\bigr) =4,25\times10^{-4}\times1,3800\times10^{5}.
Fazendo a multiplicação:
k_{2}\approx58,65\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: deu um aumento enorme de k porque subir de 25{,}0^\circ\mathrm{C} para 100^\circ\mathrm{C} reduz muito a barreira relativa em 1/T na exponencial de Arrhenius — por isso a reação fica muito mais rápida. Você mandou bem pedindo passo a passo; repete esse procedimento em outras questões semelhantes que cai fácil na prova.

Resposta

k_{2}\approx58,7\\ \mathrm{s^{-1}}

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