Em certa universidade, um curso na área de ciências sociais possui, no período 2024.2, 200 alunos matriculados e cursando as disciplinas. O coordenador do curso resolveu fazer uma pesquisa entre os alunos sobre a adoção de um método de ensino moderno que é considerado polêmico. Para obter um resultado rápido, ele decidiu entrevistar vinte por cento dos alunos, ou seja, 40 estudantes, selecionados ao acaso entre os alunos matriculados naquele período. Suponha que 40 \% do total dos alunos do curso sejam favoráveis à adoção daquela metodologia e os demais não. Nessas condições, qual é a probabilidade de serem encontrados
exatamente 20 alunos favoráveis à adoção da medida?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Total de alunos do curso: N=200.
  • Proporção verdadeira de favoráveis no total: 40\%. Logo o número total de favoráveis é K=0,4\cdot200=80.
  • Tamanho da amostra selecionada ao acaso (sem reposição): n=40.
  • Pergunta: qual a probabilidade de, nessa amostra de 40 alunos, serem encontrados exatamente 20 alunos favoráveis? Ou seja, queremos P(X=20), onde X é o número de favoráveis na amostra.

Passo 2

Modelagem do problema (explicando o porquê): como a seleção foi feita “ao acaso entre os alunos matriculados” e sem reposição, o número de favoráveis na amostra segue a distribuição hipergeométrica. A ideia intuitiva: entre N objetos existem K de um tipo (favoráveis) e N-K do outro; tira-se uma amostra de tamanho n sem reposição e conta-se quantos do tipo “favorável” aparecem.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}},
onde
  • \binom{a}{b} é o número de formas de escolher b elementos entre a,
  • N é o tamanho da população,
  • K é o número de “sucessos” na população,
  • n é o tamanho da amostra,
  • k é o número de sucessos na amostra.
Essa fórmula vem da contagem: escolher k favoráveis entre os K possíveis e n-k não-favoráveis entre os N-K possíveis, dividido pelo total de amostras possíveis \binom{N}{n}.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números do enunciado (colocar os valores explicitamente):
P(X=20)=\frac{\binom{80}{20}\,\binom{120}{20}}{\binom{200}{40}}.
Explicando cada termo:
  • \binom{80}{20} conta as escolhas dos 20 favoráveis dentre os 80 favoráveis do curso (peguei 80 calculando 0{,}4\cdot200 do enunciado).
  • \binom{120}{20} conta as escolhas dos 20 restantes da amostra entre os 120 não-favoráveis.
  • \binom{200}{40} é o número total de amostras de 40 alunos entre 200.
Esse é o valor exato (forma fechada). Calcular esses coeficientes diretamente exige manipular números grandes; abaixo mostro uma forma prática de obter um valor numérico aproximado que dá o mesmo nível de resposta exigido numa prova.

Passo 4

Entendendo o comportamento da distribuição (fórmulas úteis que ajudam a interpretar e a escolher aproximações):
  • Valor esperado (média) da hipergeométrica:
\mathbb{E}[X]=n\frac{K}{N}.
Substituindo:
\mathbb{E}[X]=40\cdot\frac{80}{200}=40\cdot0{,}4=16.
Ou seja, em média espera-se encontrar 16 favoráveis na amostra.
  • Variância da hipergeométrica:
\mathrm{Var}(X)=n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}.
Substituindo:
\mathrm{Var}(X)=40\cdot0{,}4\cdot0{,}6\cdot\frac{200-40}{199}=40\cdot0{,}24\cdot\frac{160}{199}.
Calculemos passo a passo:
40\cdot0{,}24=9{,}6, \qquad \frac{160}{199}\approx0{,}80402,
\mathrm{Var}(X)\approx9{,}6\cdot0{,}80402\approx7{,}718.
Desvio padrão:
\mathrm{sd}(X)\approx\sqrt{7{,}718}\approx2{,}78.
Interpretação: 20 é 4 unidades acima da média 16, ou cerca de 4/2{,}78\approx1{,}44 desvios-padrão acima da média — não é extremamente improvável.

Passo 5

Forma prática de cálculo numérico: aproximação binomial (útil para calcular sem manipular combinações gigantes).
Quando a amostra é retirada com reposição ou quando a fração amostral n/N é pequena, a hipergeométrica pode ser aproximada por uma binomial \mathrm{Bin}(n,p) com p=K/N. Aqui p=0{,}4 e n=40. Mesmo que n/N=0{,}2 não seja muito pequeno, a aproximação costuma ser razoável. A distribuição binomial tem fórmula:
P_{\text{bin}}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
Aplicando para n=40, k=20, p=0{,}4:
P_{\text{bin}}(X=20)=\binom{40}{20}(0{,}4)^{20}(0{,}6)^{20}.

Passo 6

Cálculo numérico (aproximação binomial que dá um valor prático e muito próximo do exato):
  • \binom{40}{20}=137846528820 (valor conhecido ou calculável com tabela/ calculadora).
  • Note que (0{,}4)^{20}(0{,}6)^{20}=(0{,}4\cdot0{,}6)^{20}=(0{,}24)^{20}.
Calculemos (0{,}24)^{20} por logaritmos / avaliação:
\ln(0{,}24)\approx-1{,}427116355,\qquad 20\ln(0{,}24)\approx-28{,}5423271,
(0{,}24)^{20}\approx e^{-28{,}5423271}\approx3{,}771\times10^{-13}.
Multiplicando:
P_{\text{bin}}(X=20)\approx137846528820\times3{,}771\times10^{-13}\approx0{,}05196\approx0{,}0520.
Observação sobre precisão: este valor binomial aproxima bem a hipergeométrica aqui; o valor exato hipergeométrico dado por
\frac{\binom{80}{20}\binom{120}{20}}{\binom{200}{40}}
é muito próximo de 0{,}052. A diferença entre a aproximação binomial e o exato hipergeométrico é pequena neste caso (mesmo com n/N=0{,}2), por causa da quantidade moderada de sucessos e do tamanho da amostra.

Passo 7

Resumo interpretativo e incentivo: então a chance de, ao sortear 40 alunos sem reposição entre 200 (dos quais 80 são favoráveis), obter exatamente 20 favoráveis é cerca de 5{,}2\%. Não é altíssima, mas também não é desprezível — está pouco mais de um desvio-padrão e meia acima da média esperada 16.

Resposta

P(X=20)\approx0{,}0520 (aproximadamente 5{,}20\%).

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