Em certa universidade, um curso na área de ciências sociais possui, no período 2024.2, 200 alunos matriculados e cursando as disciplinas. O coordenador do curso resolveu fazer uma pesquisa entre os alunos sobre a adoção de um método de ensino moderno que é considerado polêmico. Para obter um resultado rápido, ele decidiu entrevistar vinte por cento dos alunos, ou seja, 40 estudantes, selecionados ao acaso entre os alunos matriculados naquele período. Suponha que
do total dos alunos do curso sejam favoráveis à adoção daquela metodologia e os demais não. Nessas condições, qual é a probabilidade de serem encontrados
exatamente 20 alunos favoráveis à adoção da medida?
exatamente 20 alunos favoráveis à adoção da medida?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Total de alunos do curso:
. - Proporção verdadeira de favoráveis no total:
. Logo o número total de favoráveis é . - Tamanho da amostra selecionada ao acaso (sem reposição):
. - Pergunta: qual a probabilidade de, nessa amostra de
alunos, serem encontrados exatamente alunos favoráveis? Ou seja, queremos , onde é o número de favoráveis na amostra.
Passo 2
Modelagem do problema (explicando o porquê): como a seleção foi feita “ao acaso entre os alunos matriculados” e sem reposição, o número de favoráveis na amostra segue a distribuição hipergeométrica. A ideia intuitiva: entre
objetos existem
de um tipo (favoráveis) e
do outro; tira-se uma amostra de tamanho
sem reposição e conta-se quantos do tipo “favorável” aparecem.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
onde
-
é o número de formas de escolher elementos entre , -
é o tamanho da população, -
é o número de “sucessos” na população, -
é o tamanho da amostra, -
é o número de sucessos na amostra.
Essa fórmula vem da contagem: escolher
favoráveis entre os
possíveis e
não-favoráveis entre os
possíveis, dividido pelo total de amostras possíveis
.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os números do enunciado (colocar os valores explicitamente):
Explicando cada termo:
-
conta as escolhas dos favoráveis dentre os favoráveis do curso (peguei calculando do enunciado). -
conta as escolhas dos restantes da amostra entre os não-favoráveis. -
é o número total de amostras de alunos entre .
Esse é o valor exato (forma fechada). Calcular esses coeficientes diretamente exige manipular números grandes; abaixo mostro uma forma prática de obter um valor numérico aproximado que dá o mesmo nível de resposta exigido numa prova.
Passo 4
Entendendo o comportamento da distribuição (fórmulas úteis que ajudam a interpretar e a escolher aproximações):
- Valor esperado (média) da hipergeométrica:
Substituindo:
Ou seja, em média espera-se encontrar
favoráveis na amostra.
- Variância da hipergeométrica:
Substituindo:
Calculemos passo a passo:
Desvio padrão:
Interpretação:
é
unidades acima da média
, ou cerca de
desvios-padrão acima da média — não é extremamente improvável.
Passo 5
Forma prática de cálculo numérico: aproximação binomial (útil para calcular sem manipular combinações gigantes).
Quando a amostra é retirada com reposição ou quando a fração amostral
é pequena, a hipergeométrica pode ser aproximada por uma binomial
com
. Aqui
e
. Mesmo que
não seja muito pequeno, a aproximação costuma ser razoável. A distribuição binomial tem fórmula:
Aplicando para
,
,
:
Passo 6
Cálculo numérico (aproximação binomial que dá um valor prático e muito próximo do exato):
-
(valor conhecido ou calculável com tabela/ calculadora). - Note que
.
Calculemos
por logaritmos / avaliação:
Multiplicando:
Observação sobre precisão: este valor binomial aproxima bem a hipergeométrica aqui; o valor exato hipergeométrico dado por
é muito próximo de
. A diferença entre a aproximação binomial e o exato hipergeométrico é pequena neste caso (mesmo com
), por causa da quantidade moderada de sucessos e do tamanho da amostra.
Passo 7
Resumo interpretativo e incentivo: então a chance de, ao sortear 40 alunos sem reposição entre 200 (dos quais 80 são favoráveis), obter exatamente 20 favoráveis é cerca de
. Não é altíssima, mas também não é desprezível — está pouco mais de um desvio-padrão e meia acima da média esperada
.