Em certa universidade, um curso na área de ciências sociais possui, no período 2024.2, 200 alunos matriculados e cursando as disciplinas. O coordenador do curso resolveu fazer uma pesquisa entre os alunos sobre a adoção de um método de ensino moderno que é considerado polêmico. Para obter um resultado rápido, ele decidiu entrevistar vinte por cento dos alunos, ou seja, 40 estudantes, selecionados ao acaso entre os alunos matriculados naquele período. Suponha que
do total dos alunos do curso sejam favoráveis à adoção daquela metodologia e os demais não. Nessas condições, qual é a probabilidade de serem encontrados
no mínimo 15 alunos favoráveis à adoção da medida?
no mínimo 15 alunos favoráveis à adoção da medida?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, numa amostra aleatória de
alunos retirada sem reposição de uma população de
alunos (onde
do total são favoráveis), encontrarmos pelo menos
alunos favoráveis. Dados fornecidos:
- Tamanho da população:
. - Número total de favoráveis na população:
. (Peguei esse número do enunciado.) - Tamanho da amostra:
. - Evento de interesse: número de favoráveis na amostra
satisfazendo .
Passo 2
Qual distribuição usar?
- Como a amostra é retirada sem reposição, o número de favoráveis
na amostra tem distribuição hipergeométrica. Em palavras: escolhemos elementos da população de tamanho que contém “sucessos” (favoráveis), então a probabilidade exata de obter exatamente sucessos é dada pela fórmula da hipergeométrica.
Passo 3
Escrever a fórmula exata (hipergeométrica).
A probabilidade exata de obter exatamente favoráveis é
A probabilidade exata de obter exatamente
Portanto a probabilidade pedida é
Essa expressão é exata, mas calcular essa soma por mão (com combinações enormes) é muito trabalhoso sem computador.
Passo 4
Vamos aproximar a hipergeométrica por uma normal — método prático para provas quando
,
e
são razoavelmente grandes. Primeiro: média e variância da hipergeométrica.
- A média é
- A variância é
Agora substituímos os números (mostrando passo a passo):
Calculemos em partes:
Desvio-padrão:
Passo 5
Aplicando a aproximação normal com correção de continuidade.
Queremos . Com correção de continuidade transformamos em
Queremos
onde
é normal com média
e desvio
.
Calculamos o escore padronizado:
Calculamos o escore padronizado:
Então
onde
é normal padrão.
Passo 6
Usando simetria da normal padrão:
Consultando tabela da normal padrão (ou calculadora),
. Para
o valor é praticamente o mesmo, cerca de
.
Portanto a aproximação dá
Portanto a aproximação dá
Passo 7
Comentário final e verificação rápida:
- A média esperada é
, então pedir “pelo menos 15” é pedir um evento um pouco abaixo da média, por isso a probabilidade ser maior que faz sentido. - Se usássemos a aproximação binomial simples
(ignorar correção por população finita), obteríamos um valor bem próximo (cerca de com correção de continuidade), o que confirma que o resultado por hipergeométrica+normal está coerente. A hipergeométrica com correção de população empurra um pouco a variância para baixo e aumenta um pouco a probabilidade encontrada.